Question

在数列{an}中，其前n项和Sn与an满足关系式：（t-1）Sn+（2t+1）an=t（t＞0，n=1，2，3，…）．设数列{a...

在数列{an}中，其前n项和Sn与an满足关系式：（t-1）Sn+（2t+1）an=t（t＞0，n=1，2，3，…）．设数列{an}的公比为f（t），已知数列{bn}，b1=1，bn+1=3f(1
bn)(n=1，2，3，…)，求b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+（-1）^n+1bnbn+1的值．

Answer 1

解：
(1)
n=1时，
(t-1)S1+(2t+1)a1=t,
(3t)a1=t,
a1=1/3,
n>1时，
(t-1)Sn+(2t+1)an=t,
(t-1)S(n-1)+(2t+1)a(n-1)=t,
两式相减，得：
(t-1)an+(2t+1)an-(2t+1)a(n-1)=0,
(3t)an=(2t+1)a(n-1),
an/a(n-1)=(2t+1)/(3t)是定值,
故an是首项a1=1/3,公比为（2t+1)/(3t)的等比数列。
(2)
f(t)=(2t+1)/(3t),
b(n+1)=3*f(1/bn)
=3*(2/bn+1)/(3/bn)
=2+bn，
b(n+1)-bn=2，
故bn是首项为1，公差为2的等差数列，
bn=2n-1，
若n为偶数
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+（-1）^n+1bnbn+1
=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…((-1)^(n)b(n-1)bn+（-1）^n+1bnbn+1)
=b2*(-4)+b4*(-4)+...+bn*(-4)
=-4(b2+b4+...+bn)
=-2n(n+1)
若n为奇数
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+（-1）^n+1bnbn+1
=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…((-1)^(n-2)b(n-3)b(n-2)+（-1）^(n-2)b(n-1)b(n-2)+（-1）^n+1bnbn+1
=-2(n-1)n+（-1）^n+1*(2n-1)(2n+1)
=-2n(n-1)+(-1)^n*(4n^2-1)

如仍有疑惑，欢迎追问。
祝：学习进步！