Question

21②，设Sn为数列｛an｝的前n项和，且对任意n∈N*都有Sn=2（an-1），记f(n)=3^n/(2^nSn)

证明
(2n-1)f(n)≤f(1)+f(2)+…+f(2n-1)<3
请给出详细过程，解释清楚，谢谢！

Answer 1

对任意n∈N*，都有Sn=2(an－1)，①
n=1时a1=2(a1-1),a1=2.
n>1时S<n-1>=2(a<n-1>-1),②
①-②，an=2an-2a<n-1>,
an=2a<n-1>
∴an=2^n.
f(n)=3^n/(2^(n+2)-4)>3^n/2^(n+2)n
f(k)+f(2n-k)>=2(f(k)*f(2n-k))^0.5>2*（3/2)^n
所以f(1)+....f(2n-1)>（2n-1)(3/2)^n
2^n<2^(n+2)-4，
所以(2n-1)(3/2)^n>(2n-1)f(n)
所以等式左边成立
n>1
f(n)=3^n/(2^(n+2)-4)<3^n/4^n
3^n/4^n的前2n-1项和为3-3^2n/4^(2n-1)<3
所以等式右边成立
本题主要用到放缩的思想

Answer 2

对任意n∈N*，都有Sn=2(an－1)，①
n=1时a1=2(a1-1),a1=2.
n>1时S<n-1>=2(a<n-1>-1),②
①-②，an=2an-2a<n-1>,
an=2a<n-1>,
∴an=2^n.
∴f(n)=（3/4）^n,
f(k)+f(2n-k)
=(3/4)^k+(3/4)^(2n-k)
>=2[(3/4)^(k+2n-k)]^0.5
=2*(3/4)^n
=2f(n),k=1,2,……，n,
累加得f(1)+f(2)+…+f(2n－1)≥(2n－1)×f(n)
有什么不明白可以继续问，随时在线等。
如果我的回答对你有帮助，请及时选为满意答案，谢谢~~

追问

你好，你这是复制网上的答案，题目和我这题目都不一样