Question

在Rt三角形ABC中,角C=90°,角ABC的平分线交AC于点D,点O是AB上一点,圆O过BD两点,且分别交AB,BC于点E,F.

（1）求证：AC为圆O的切线 （2）已知AB=10，BC=6，求圆O的半径

Answer 1

因为是圆
所以OB=OD=半径
所以角ODB=角OBD（等腰）
又角平分线，所以角OBD=角DBC=角ODB
所以OD∥BC
又角C是90°，所以OD⊥AC
即，AC是圆的切线

Answer 2

（1）连接 OD OB=OD
∠ODB = ∠OBD = ∠DBC
所以 OD∥BC
因为 BC⊥AC，
所以 OD⊥AC AC是圆的切线
（2）设半径为R
因为 △AOD∽△ABC
( 10 - R ) / R = 10 / 6
R = 15 / 4

Answer 3

作辅助线OD，角ADO=角ACB=90度，所以OD平行于BC，所以OD：BC=AO：AB，设半径为r，即可得方程r：6=（10-r）：10，解得r=3.75