Question

已知函数f(x)=-2/3x3+2ax2+3x,当a=1/4时,求函数

Answer 1

（Ⅰ）a=1/4，f(x)=-(2x³/3)+(x²/2)+3x；
令 f'(x)=-2x²+x+3=0，得驻点 x=-1，x2=3/2；两点均处于指定区间内部
f(-2)=-(-16/3)+(4/2)+3*(-2)=4/3；f(-1)=-(-2/3)+(1/2)+3*(-1)=-11/6；f(2)=-(16/3)+(4/2)+3*2=8/3；
f(3/2)=-[(2*27/8)/3]+(9/4)/2+3*(3/2)=27/8；
区间 [-2,2] 上 f(x) 最大等于 27/8、最小等于 -11/6；
（Ⅱ）g(x)=ln(x+1) +3-f'=ln(x+1) +2x²-4ax，g'(x)=[1/(x+1)]+4x-4a；
应为 g(x) 在(-1/2,+∞)上单调递增，所以 g'(x)≥0；即 [1/(x+1)]+4x-4a≥0；
∴ a≤[0.25/(x+1)]+x=[0.25/(x+1)]+(x+1)-1；
由于 [0.25/(x+1)]+(x+1)≥2*√{[0.25/(x+1)]*(x+1)}=1，当且仅当 x=-1/2 时等号成立；
所以只要 a≤1-1=0，就可保证g'(x)≥0；

Answer 2

1
a=1/4
f(x)=-2/3x³+1/2x²+3x
f'(x)=-2x²+x+3
令f'(x)=0即2x²-x-3=0
解得x1=-1,x2=3/2
随x在[-2,2]上变化，f'(x),f(x)变化如下：
x -2 -2<x<-1 -1 -1<x<3/2 3/2 3/2<x<2 2
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) -4/3 减 -11/6 增 27/8 减 8/3
∴f(x)min=f(-1)=-11/6,,f(x)max=f(3/2)=27/8
2
g(x)=ln(x+1)+3-(-2x²+4ax+3)
=ln(x+1)+2x²-4ax
g'(x)=1/(x+1)+4x-4a
∵g(x)在[-1/2,+∞)上为增函数
∴x≥-1/2时，g'(x)≥0恒成立
即1/(x+1)+4x-4a≥0
4a≤1/(x+1)+4x恒成立
设h(x)=1/(x+1)+4x
需4a≤h(x)max
h'(x)=-1/(x+1)²+4=[4(x+1)²-1]/(x+1)²
=(2x+1)(2x+3)/(x+1)≥0
∴h(x)为增函数
∴h(x)min=h(-1/2)=2-2=0
∴a≤0

Answer 3

（I）f(x)=-2/3 x^3+1/2 x^2+3x
f'(x)=-2x^2+x+3=0 x=-1 x=3/2
f(-2)=4/3 f(-1)=-11/6 f(3/2)=27/8 f(2)=8/3
∴最小值=f(-1)=-11/6 最大值=f(3/2)=27/8
（II）f'(x)=-2x^2+4ax+3
g(x)=ln(x+1)+3+2x^2-4ax-3=2x^2-4ax+ln(x+1)
g'(x)=4x-4a+1/(x+1)>0
4x^2+4(1-a)x-4a+1>0 (x>-1)
x<-1/2+1/2*a-1/2*(2*a+a^2)^(1/2) (舍去）
或 x>-1/2+1/2*a+1/2*(2*a+a^2)^(1/2)
-1/2+1/2*a+1/2*(2*a+a^2)^(1/2)=-1/2
a=0

Answer 4

（1）把1/4代入，然后求导，求出单调区间
（2）g(X)的导函数g’（x）>0在此区间上恒成立，解不等式就行了