Question

数学解析几何问题

已知B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点，F是椭圆右焦点，且BF垂直于x轴，B(1,3/2)
（1）求椭圆方程
（2）设A1和A2是长轴的两个端点，直线l垂直于A1A2的延长线于点D，|OD|=4，P是l上异于点D的任意一点，直线A1P交椭圆E于M（不同于A1，A2），设λ=向量A2M（点乘）向量A2P，求λ的取值范围
答案好像是x^2/4+y^2/3=1，第二问（0，10），第二问，我要用韦达定理做的解法。

Answer 1

BF⊥x轴,B(1,3/2),所以c=1，且左焦点F´(-1,0),右焦点F(1,0)
根据椭圆定义，|BF|+|BF´|=2a,即
3/2+√[(1+1)²+(3/2-0)²]=2a,
解得a=2，b²=a²-c²=2²-1²=3,
椭圆方程为 x²/4+y²/3=1

（I）由题意，c=1，左焦点为F′（-1，0），求出|BF|，|BF′|，利用2a=|BF|+|BF′|，即可求得椭圆E的方程；
（II）确定M，P的坐标，求得

A1M    

=(x0-2，y0)，

A2P    

=(2，

6y0    

x0+2    

)，表示出λ=

A2M    

•

A2P    

，即可求得λ的取值范围．

解答：解：（I）由题意，c=1，左焦点为F′（-1，0），则2a=|BF|+|BF′|
∵B(1，

3    

2    

)，∴|BF|=

3    

2    

，|BF′|=

5    

2    

∴2a=4，∴a=2
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆E的方程为

x2    

4    

+

y2    

3    

=1；
（II）由（I）知A1（-2，0），A2（2，0），设M（x0，y0），则

x02    

4    

+

y02    

3    

=1
∵P，M，A1三点共线，∴P(4，

6y0    

x0+2    

)
∴

A1M    

=(x0-2，y0)，

A2P    

=(2，

6y0    

x0+2    

)
∴λ=

A2M    

•

A2P    

=2（x0+2）+

6y02    

x0+2    

=

5    

2    

（2-x0）       
∵2＜x0＜2，∴

5    

2    

（2-x0）∈（0，10）

追问

第二问，我要用韦达定理做的解法。