Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,CE⊥AB交AD于点F,交AB于点E,DH⊥AB于点H。求证：四

边形CDHF是菱形。

Answer 1

AD是角平分线 所以CD=DH
然后三角形ADC全等于三角形ADH全等于三角形BDH
可以求出角ADC=角BCE=60度
然后三角形CDF是等边三角形
CF=CD=DH=FH 所以四边形是菱形。

Answer 2

因DH⊥AB,CE⊥AB
所以CF//DH
而∠FAE=∠DAC,且∠FAE与∠AFE互余，∠DAC与∠ADC互余，
所以∠FAE＝∠ADC
又∠FAE=∠CFD(对项角相等)
所以∠CFD=∠ADC,三角形CFD是等腰三角形，CF=CD
所以CF=DH
CDHF是平行四边形，
因D是∠CAB平分线上的点，且DH⊥AB,DC⊥CA
所以DH=DC(角的平分线上任意一点到这个角两边的距离相等)
所以CDHF是夌形

Answer 3

∵∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD,DH⊥AB
∴CD=DH, ∠CDA=∠HDA
∵CE⊥AB,DH⊥AB
∴CE∥DH
∴∠CFD=∠HDA
∴CF=CD ,CF∥DH
∴CFHD为平行四边形
∵CF=CD
∴CFHD为菱形

追问

为嘛∠CDA=∠HDA

追答

懂了？？呵呵

Answer 4

证明：
∵ DH⊥AH，CE⊥AH
∴ DH//CF
∴ DH平行且等于CF
∴ CFHD为平行四边形
∵ DA为∠BAC的角平分线，且DC⊥CA,，DH⊥AH
∴ DC=DH
∴ CFHD为菱形

追问

为嘛DH=CF

追答

∵ ∠CFD=∠HDF
∠CDF=∠HDF
∴ ∠CFD=∠CDF
∴ CD= CF
同理 HE=HF
且DC=DH
所以 DH=CF
直接证明四条边相等更简单