Question

当X趋向于0+时，lim(sinx/x)^(1/x)的极限

Answer 1

sinx=x-(1/6)x^3+o(x^3)
lim(sinx/x)^(1/x)
=lim(1-(x^2)/6)^(1/x)
=e^lim (ln(1-(x^2)/6))/x
=e^lim(-(x^2)/6)/x=e

Answer 2

取对数
ln原式=lim(x→0+)(ln(sinx)-lnx)/x
=lim(x→0+)(cosx/sinx-1/x)/1 （洛必达法则）
=lim(x→0+)(xcosx-sinx)/(xsinx)
=lim(x→0+)(xcosx-sinx)/x^2 (sinx~x)
=lim(x→0+)(cosx-xsinx-cosx)/(2x) （洛必达法则）
=lim(x→0+)-sinx/2
=0
所以原式=e^0=1

追问

为什么要取对数，这点我不是很懂。

追答

这是个1^∞形式的极限，取对数之后就可以用洛必达法则了。

追问

这一步"ln原式=lim(x→0+)(ln(sinx)-lnx)/x"不应该是"ln原式=lim(x→0+)(ln(sinx)-lnx)"的吗、？？为什么 要在最后除以一个X

追答

取对数啊！
ln原式=lim(x→0+)1/x*ln(sinx/x)=lim(x→0+)(lnsinx-lnx)/x