Question

在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．

（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．

Answer 1

1、当点G与点D重合时
即BD⊥AC
∴ABCD是正方形
∴AB=BC=4
即x=4
2、AF∥BC
∴△AFE∽△BCE
∴EF/BE=AE/CE=AF/BC=1/2
(F为AD中点,AD=BC，AF/BC=1/2)
∵BG(BF)⊥AC
∴∠AEF=∠BAF=90°
∵∠AFE=∠BFA
∴△AEF∽△BFA
∴AF/BF=EF/AF
AF²=EF×BF
∵AF=1/2AD==1/2BC=2
EF/BE=1/2，EF/BF=1/3，即BF=3EF
∴EF×3EF=2²
EF=2√3/3
BF=3EF=2√3
∴AB²=BF²-AF²=(2√3)²-2²=8
AB=2√2
∵AF=DF，AB=CD，∠BAF=∠CDF=90°
∴△ABF≌△DCF(SAS)
∴BF=CF
∴在Rt△EFC中：∠ECF的正弦值=EF/CF=(2√3/3）/（2√3）=1/3

Answer 2

⑴D、G重合，就是矩形ABCD对角线互相垂直，∴矩形ABCD是正方形，
∴X=BC=4。
⑵在RTΔABF与RTΔDGF中，
AF=DF，∠FAB=∠FDG=90°，∠AFB=∠DFG，
∴ΔABF≌ΔDGF，
∴DG=AB=CD，FB=FG。

但求AB的值条件不够，就是任意矩形都有以上特点。
欢迎追问。