Question

数学分析 用定积分求极限 第4题，谢谢

Answer 1

先是些题外话

1. 如果a_n=n^{\alpha}，这个简单的情形要会用定积分做

2. 如果只有a_n~n^{\alpha}但不要求用定积分做，那么至少要会用Stolz定理来做，也是一步就出结果的

3. 前面有限项不影响最终结果

如果上面这些都知道那么就是技术上的问题了

记b_n=n^{\alpha}，A = lim (b_1+...+b_n)/n^{1+\alpha} = 1/(1+\alpha)，这个用定积分做

对任何\epsilon>0，存在常数N>0，当n>N时(1-\epsilon)b_n<a_n<(1+\epsilon)b_n

由于前N项不影响结果，所以取上极限可得 limsup (a_1+...+a_n)/n^{1+\alpha} <= (1+\epsilon)A，取下极限可得liminf (a_1+...+a_n)/n^{1+\alpha} >= (1-\epsilon)A

用几何意义解释就是除了0附近之外那个和恰好介于函数(1-\epsilon)x^{\alpha}和(1+\epsilon)x^{\alpha}的定积分之间

由于\epsilon的取法任意，让\epsilon->0可得

A <= liminf (a_1+...+a_n)/n^{1+\alpha} <= limsup (a_1+...+a_n)/n^{1+\alpha} <= A

这个做法本质上完全是用定积分来解，只是这些技术的灵活应用你可能得消化消化

追问

非常感谢你！我会认真看再认真思考的！

非常感谢你，我看懂了！这个是我作业上的解答，基本上没有修改了，我没有用上下极限这样可以吗？（因为我是想题目中既然让我们求极限了那么我认为它极限值就一定存在了吧...）请问你是老师吗？我是东北师范大学数院的一名大一免费师范生，希望向你学习到更多学习的方法〜

追答

你的做法有几处错误

1. a_n/b_n->1 只能说明 |a_n/b_n-1|<\epsilon，不可能说明|a_n-b_n|<\epsilon， a_n=n^2+n, b_n=n^2

2. 即使题目说求极限，你也不能直接假定极限存在，所以我才会把上下极限拿出来讨论

3. 尽管我说前面有限项不影响结果，但你也不可以直接令a_n=b_n，合理的做法是 limsup (a_1+....+a_N+a_{N+1}+...a_n)/n^{1+\alpha} = lim (a_1+...+a_N-b_1-...-b_N)/n^{1+\alpha} + limsup (b_1+...+b_N+a_{N+1}+...a_n)/n^{1+\alpha}，并且说明第一个极限为0

数学分析注重逻辑严谨性的训练，看来你在这方面还欠缺很多，并不只是单纯的技术不够

追问

我懂了，谢谢老师的指点！我在今后会注意这方面的问题的，再次感谢老师的细心

细心指点