Question

已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0(1)m取何值时两圆外切

(2)求m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长

Answer 1

提示；⑴∵x²＋y²－2x－6y－1＝0,
∴﹙x－1﹚²＋﹙y－3﹚²＝3² ，
∴此圆圆心为O﹙1，3﹚，半径为3；
又x²＋y²－10x－12y＋m＝0，
∴﹙x－5﹚²＋﹙y－6﹚²＝61－m，
∴此圆圆心为O¹﹙5，6﹚，半径为√﹙61－m﹚。
两圆圆心距OO¹＝5，
当3＋√﹙61－m﹚＝5时，
两圆外切，解得m＝57。
⑵方法一； 由x²＋y²－2x－6y－1＝0……①，
x²＋y²－10x－12y＋45＝0……
②，
把①、②联立成方程组，求解﹙两组﹚，
得出两个交点坐标，然后利用两点间距离公式求得公共弦长。
方法二，当m＝45时，求得第二个圆的半径为4。
设⊙O与⊙O¹的交点A、B，连结OA、O¹A，
在⊿AOO¹中，OA＝3、O¹A＝4，OO¹＝5，
∴⊿AOO¹为直角三角形，且∠OAO¹＝90º，
又OO¹垂直平分AB，设垂足为M，
则AM＝1/2AB，
由⊿Rt⊿面积公式：AO×AO¹＝OO¹×AM，
求得AM＝2·4，
∴AM＝2AM＝4·8。