Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²＝1（a＞b＞0）的离心率为√2/2，过点B(0,-2)及左焦点F1

已知椭圆x²/a²+y²/b²＝1（a＞b＞0）的离心率为√2/2，过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点，右焦点设为F2.1.求椭圆的方程。2,求△CDF2的面积

Answer 1

解：（1）∵椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），
离心率为√2/2，
∴b=√a^2−c^2=1，且c/a=√2/2，
解之得a=√2,，c=1
可得椭圆的方程为
x^2/2 +y^2＝1；
（2）∵左焦点F1（-1，0），B（0，-2），得F1B直线的斜率为-2
∴直线F1B的方程为y=-2x-2
由y＝−2x−2
x^2/2+y^2=1，
化简得9x^2+16x+6=0．
∵△=162-4×9×6=40＞0，
∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），
则
x1+x2＝−16/9
x1•x2＝2/3
∴|CD|=√1+(−2)^2|x1-x2|=√5 *√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√5 *√[(-16/9)^2-4*2/3]=10√2/9
又∵点F2到直线BF1的距离d=|−2−2|/√5=4√5/5，
∴△CDF2的面积为S=1/2|CD|×d
=1/2 * 10√2/9 * 4√5/5
=4√10/9