Question

求解这道题，已知3阶矩阵A的特征值为1,2，-3，求|A*+3A+2E|.

我不只是要这题的答案，我想学习解法，所以请大神们写出最详细的解题过程，如果可以请写一下注释，要是解答精彩，我会追加10到30分，谢谢了

Answer 1

A*=|A|A逆
|A|=1*2*(-3)=-6

记φ(A) =A*+3A+2E

则φ(A)的特征值φ(λ) =|A|/λ+3λ+2=-6/λ+3λ+2

代入λ=1，2，-3得-1，5，-5

所以|A*+3A+2E|=（-1）*5*（-5）=25

 

 

方法：若λ是A的一个特征值，则φ(λ) =a0+a1λ+ … +amλ^m

是矩阵多项式φ(A) =a0E+a1A+ … +amA^m的特征值

如图：

Answer 2

A*=|A|A逆
A*α=|A|A逆α
Aα=λα
A逆Aα=λA逆α
α=λA逆α
(|A|/λ)α=A*α
故A*的特征值为|A|/λ

|A|=1*2*（-3）=-6
所以A*的特征值为-6/1,-6/2,-6/3,即-6，-3，2
A*—3A+2E的特征值为
-6-3+2=-7
-3-6+2=-7
2+9+2=13

所以|A*—3A+2E|=-7*-7*13=637

追问

我想要有注释的回答可以吗