Question

求一道二重积分的计算

步骤请尽可能写得详细点，谢谢
是不是用极坐标？

Answer 1

这道题个人认为最好的解答方法是结合积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，以及极坐标求解。

1. 原式 = ①∫∫(x²+y²)dxdy + ②2∫∫xydxdy；

2. 由于②中xy是关于x或y的奇函数，且积分区域同时关于x轴和y轴对称，因此②的积分值为0；

3. 而①中(x²+y²)首先是关于x的偶函数，且积分区域关于y轴对称，因此① = 2∫∫(x²+y²)dxdy，其中积分区域为右半圆；

4. 又因为①中(x²+y²)是关于y的偶函数，且右半圆积分区域关于x轴对称，所以①可以继续 = 4∫∫(x²+y²)dxdy，其中积分区域为圆在第一象限的部分；

5. 综上，原式 = 4∫∫(x²+y²)dxdy，其中积分区域为圆域在第一象限的部分。（即D’ =｛(x，y) | x²+y²≤a² 且 x＞0，y＞0｝）
   

Answer 2