Question

已知数列｛an｝中，a1=4，且an=2an-1+2n+1,求数列｛an｝的通项公式求数列｛an｝的前n项和

Answer 1

an=2an-1+2n+1根据an+An+B=2（an-1+A（n-1）+B）配方可得
an+2n+5=2（an-1 +2（n-1）+5）。令an+2n+5为bn，可得bn/bn-1=2，b1=a1+2+5=11.
即bn为首项为11，q=2的等比数列，则bn=b1×q^(n-1）=11×2^（n-1）。
所以an=11×2^（n-1）-2n-5.
Sn的话你可以看作一个等比数列前n项和加上一个等差数列前n项和。
算出来Sn=11（2^n-1）-n（n+6）。

Answer 2

解：
n≥2时，an=2a(n-1)+2n+1
an+2n+5=2a(n-1)+4(n-1)+10=2[a(n-1)+2(n-1)+5]
(an+2n+5)/[a(n-1)+2(n-1)+5]=2，为定值。
a1+2×1+5=4+2+5=11
数列{an+2n+5}是以11为首项，2为公比的等比数列。
an+2n+5=11×2^(n-1)
an=11×2^(n-1)-2n-5
Sn=a1+a2+...+an
=11×1×(2ⁿ-1)/(2-1)-2(1+2+...+n)-5n
=11×(2ⁿ-1)-2n(n+1)/2-5n
=11×2ⁿ-n²-5n -11