Question

数分证明：开集与闭集问题。。。谢谢

有限个开集交集仍是开集，闭集并集仍是闭集，举例说明：无限个开集交集未必是开集，闭集并集未必是闭集

Answer 1

设Ai皆为开集，证明Ai的交是开集，其中1<=i<=k。
证明：任取a位于所有Ai的交集中，则a位于每一个Ai中，1<=i<=k。
由于Ai是开集，因此a是Ai的内点，即存在ri>0，使得B(a，ri)包含于Ai。
取r=min{ri: 1<=i<=k}>0，则B(a，r)包含于B(a，ri)，当然就含于Ai，1<=i<=k，
即B(a，r)位于所有的Ai的交集，于是a是交集的内点。由a的任意性知道
交集是开集。
闭集的情况只需用闭集的补集是开集来证明即可。
举例：如Ai=(-1/i，1/i)是R的开区间，i=1,2,3，...。
这无穷多个Ai的交是单点集{0}不是开集。
闭集的情形：Ai=[0,1-1/i]是R的闭区间，i>=1，
所有Ai的并是【0，1）不是闭集。