Question

如何判断函数奇偶性

除了严谨的数学推理，是否可以通过目测来判断函数奇偶性。高等数学积分学中对称性的需要。

Answer 1

有一些技巧可以无需经过定义证明，就能目测某些种类的函数的奇偶性。这对于选择题，判断题很有帮助。
首先、定义域对原点对称的函数，才可能是奇函数或偶函数，定义域不对原点对称的，必然是非奇非偶函数。例如y=x²（x-1）/（x-1）=x²（x≠1），定义域不对原点对称，所以是非奇非偶函数。
第二、先必须熟记一些常见的奇偶函数，例如x的奇数次幂（含-1、-3这样的负奇数）是奇函数，x的偶数次幂（含-2、-4这样的负偶数）是偶函数，常数函数是偶函数，x的偶数次方根是非奇非偶函数，x的奇数次方根是奇函数，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，常数函数是偶函数，恒等于0的常数函数既是偶函数，也是奇函数等等。
第三、记住一些从已知函数推论出新函数的奇偶性的方法。有这样几种情况。
1、新函数有几个函数加减形成，每个加减的函数都是偶函数，则新函数是偶函数，例如x^4+x²+3，x^4、x²、3都是偶函数，所以新函数x^4+x²+3可以直接判断是偶函数；
每个相加的函数都是奇函数，则新函数是奇函数，例如x^5+x^3+x，x^5、x^3、x都是奇函数，所以可以直接判断x^5+x^3+x是奇函数。
如果相加减的函数中，部分是奇函数，部分是偶函数，则新函数是非奇非偶函数。例如x²+x+4，x²和4是偶函数，x是奇函数，所以x²+x+4是非奇非偶函数。
2、新函数是几个函数相乘除形成的，每个相乘除的函数都是奇函数或偶函数（因式中不能有非奇非偶函数），那么相乘除的函数中有奇数个奇函数，新函数就是奇函数；有偶数个奇函数，新函数就是奇函数。
例如xsinx，其中x和sinx都是奇函数，是两个奇函数相乘，所以xsinx是偶数；xcosx，x是奇函数，cos是偶数，有1个奇函数，所以xcosx是奇函数；x²cosx，没有奇函数，所以x²cosx是偶函数。
3、复合函数，这个比较复杂，一般还是用定义推导比较靠谱。

Answer 2

还是老老实实地用定理吧。你说的目测是熟能生巧。

Answer 3

目测可以提供解题的方向，最后再用定义证明。不过一般目测的结果和证明的结果是一样的。

Answer 4

将-x代入函数式，结果等于原式时，则是
偶函数 ，等于原式家负号时，咋说奇函数，否则非奇非偶
即：
f(-x)=f(x)偶函数

f(-x)=-f(x)奇函数

Answer 5

如何判断函数的奇偶性