Question

已知命题，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠.分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满

已知命题，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠.分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1＋S2＝S3.说出这个命题的逆命题。判断气真假，并给出证明

Answer 1

如图，在Rt△ABC中，分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满S1＋S2＝S3，则△ABC为直角三角形
是真命题
证明：
∵ΔABC的三边为边的三个三角形都是等边三角形
∴这三个三角形相似
∵S1+S2=S3
∴AC²+BC²=AB² (相似三角形面积的比等于相似比的平方)
∴∠ACB=90º
即△ABC为直角三角形。

Answer 2

"在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠.分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1＋S2＝S3."
逆命题是“如图，若 分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1＋S2＝S3 ， 则三角形△ABC为RT三角形，∠ACB＝Rt∠.
证明如下：因为S1=1/2CB²sin60°
S2=1/2AC²sin60°
S3=1/2AB²sin60°
又，S1＋S2＝S3
所以，CB²+AC²=AB²
所以三角形△ABC为RT三角形，∠ACB＝Rt∠

Answer 3

逆命题：如果S1＋S2＝S3，则△ABC为直角三角形
设AB=c，BC=a，AC=b
S1=根号3*a^2/4
S2=根号3*b^2/4
S3=根号3*c^2/4
已知S1＋S2＝S3，即根号3*a^2/4+根号3*b^2/4=根号3*c^2/4
等式两边同时除以根号3/4,可知a^24+b^2=c^2
即证△ABC为直角三角形，为真命题