Question

如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE. （1）判

如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE. （1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）图中阴影部分的面积为 ．

试题分析：（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证； （2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可． 试题解析：（1）CD与圆O相切．理由如下： ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠DAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， 则CD与圆O相切； （2）连接EB，交OC于F， ∵AB为直径，得到∠AEB=90°， ∴EB∥CD， ∵CD与⊙O相切，C为切点， ∴OC⊥CD， ∴OC∥AD， ∵点O为AB的中点， ∴OF为△ABE的中位线， ∴OF= AE= ，即CF=DE= ， 在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC= ， 则S 阴影 =S △ DEC = × × = ．