Question

已知圆心为C(0,1)的圆与y轴交于A、B两点，与x 轴交于D、E两点，且DE=4根号2，点Q为圆C上的一个动点，过点

已知圆心为C(0,1)的圆与y轴交于A、B两点，与x 轴交于D、E两点，且DE=4根号2，点Q为圆C上的一个动点，过点Q的直线交y轴与点P（0，-8），连接OQ。
1、求直径AB;
2、当点Q与点D重合时，求证：直线PD为圆的切线；
3、猜想并证明在运动过程中，PQ与OQ之比为一个定值

Answer 1

1
设圆的半径为r(r>1)
圆的方程为x²+(y-1)²=r²
∵与x 轴交于D、E两点，且DE=4√2
弦DE中点为原点O
∴r²=|OC|²+|OD|²=1+8=9
∴圆的方程为x²+(y-1)²=9
∴直径|AB|=6

2
Q与D重合时，不妨设D在x正半轴，
则Q(2√2，0），P(0,-8)
∴PQ:x/(2√2)-y/8=1
即：2√2x-y-8=0
C到PQ的距离d=|-1-8|/√[(2√2)²+1]=3=r
∴直线PD为圆的切线
若Q(-2√2,0)同理可证

3
设Q(x,y),则x²+(y-1)²=9
∴x²+y²-2y=8
∴x²+y²=2y+8
|PQ|²=x²+(y+8)²=x²+y²+16y+64
=2y+8+16y+64=18y+72=18(y+4)
|OQ|²=x²+y²=2y+8=2(y+4)
∴|PQ|²/|OQ|²=9
∴|PQ|/|OQ|=3为定值

追问

是初中题，没学过圆的方程，请用初中的方法解答。

追答

好吧，不用圆的方程
(1)
∵圆与x 轴交于D、E两点，且DE=4√2
圆心C(0,1)在y轴上，y轴⊥x轴
∴ 弦DE中点为原点O ，OD=2√2
∴ΔCDD为直角三角形
∴CD²=OC²+|OD|²=1+8=9
∴半径CD=3
∴直径AB=6
(2)
∵P(0,-8),D(2√2,0)
∴PD²=OD²+OP²=64+8=72
又PC²=(1+8)²=81
PD²+CD²=81
∴PD²+CD²=PC²
∴∠PDC=90º
∴直线PD为圆的切线
(3)
设Q(x,y),则
QC²=x²+(y-1)²=9
∴x²+y²-2y=8
∴x²+y²=2y+8
PQ²=x²+(y+8)²=x²+y²+16y+64
=2y+8+16y+64=18y+72=18(y+4)
OQ²=x²+y²=2y+8=2(y+4)
∴PQ²/OQ²=9
∴PQ/OQ=3为定值

Answer 2

1、连接CD在RT三角形COD中求得R=3 AB=6

2、由PD=36倍根2 CD=3 CP=9 由勾股定理逆定理得角PDC=90度
所以：直线PD为圆的切线

3设Q（a,b）
OQ平方=a平方+b平方
PQ平方=a平方+（b+8）平方
把Q坐标代进圆的方程 可以变得a平方+b平方=2（b+4）
就可以求得平方的比是9 PQ:OQ=3

追问

是初中题，没学过圆的方程，请用初中的方法解答。