Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，作∠GAB=∠CAB，CE的延长线与AG交于点F

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，作∠GAB=∠CAB，CE的延长线与AG交于点F，点G在AF的延长线上，且FG=BD，连结BG、DF（1）求证：①BD∥AG；②四边形BGFD为菱形；（2）已知AG=15，CF=37，求菱形BGFD的边长．

Answer 1

（1）①∵∠ABC=90°，D为AC的中点，
∴BD=AD=DC，
∴∠CAB=∠DBA，
∵∠GAB=∠CAB，
∴∠GAB=∠DBA，
∴AG∥BD；

②∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥AG，
又∵BD为AC的中线，
∴BD=DF=

1

2

AC，
∴四边形BDFG是菱形；

（2）设GF=x，则AF=15-x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF²+CF²=AC²，即（15-x）²+（3

7

）²=（2x）²，
解得：x=6，
∴菱形BGFD的边长为6．