Question

已知f（x）=x3+ax2+bx+c，在x=1与x=-2时，都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-3，2]都有f（x）

已知f（x）=x3+ax2+bx+c，在x=1与x=-2时，都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-3，2]都有f（x）＞4c?12，（c＞0）恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意：

f′(1)＝0 f′(?2)＝0

即

3+2a+b＝0 12?4a+b＝0

，
解得

a＝ 3 2 b＝?6

；
（2）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x²+3x-6，
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-2或x＞1，
∴（x）的减区间为（-2，1）；增区间为（-∞，-2），（1，+∞）．
∴x∈[-3，2]时，
∴当x=1时，f（x）取得最小值-

7

2

+c，
∴f（x）_min=-

7

2

+c＞

4

c

?

1

2

，
解得c＞4．