Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），F（x）=f(x) ， x≥0?f(x) ， x＜0若f（-1）=0，且对任意实数x均

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），F（x）=f(x) ， x≥0?f(x) ， x＜0若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．（1）求F（x）的表达式；（2）设函数g（x）=x+t，若函数F（x）与g（x）的图象有三个不同交点，求实数t的取值范围．

Answer 1

由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，
所以f（x）=ax²+（a+1）x+1（a＞0），
因为对任意实数x均有f（x）≥0成立，
所以

a＞0 △＝(a+1)2?4a≤0

，
解得a=1，从而b=2，
所以f（x）=x²+2x+1（a＞0），
F（x）=

x2+2x+1，x≥0 ?x2?2x?1，x＜0

；
（2）当x＞0时，由函数F（x）与g（x）的图象，可得t＞1，
当x＜0时，要使函数f（x）与g（x）的图象有三个不同交点，
则方程-x²-2x-1=x+t，即x²+3x+t+1=0有两个不同负根，
∴

△＝9?4(t+1)＞0 x1+x2＝?3＜0 x1x2＝t+1＞0

，
解得，?1＜t＜

5

4

，
综上所述，1≤t＜

5

4

．