Question

设方程x^2-px+q=0,x^2-qx+p=0的根都是正整数,试求正整数p,q的值.

Answer 1

答：
x^2-px+q=0
x^2-qx+p=0
两式相减得：-px+q+qx-p=0
p(x+1)=q(x+1)
因为x是正整数，所以：p=q.

转化为研究方程：x^2-px+p=0
x=[p±√(p^2-4p)]/2都是正整数
所以：p±√(p^2-4p)都是正的偶数。
p-√(p^2-4p)>=2对于p>=2的正整数恒成立。
所以：p+√(p^2-4p)>=2对于p>=2的正整数也是恒成立的。
△=p^2-4p>=0，p>=4（p<=0不符合舍去）。

√(p^2-4p)=√[(p-2)^2-2^2]
所以：√(p^2-4p)、2和p-2形成直角三角形，斜边为p-2：
2^2=(p-2)^2-[√(p^2-4p)]^2=[p-2-√(p^2-4p)]*[p-2+√(p^2-4p)]=1*4=4*1=2*2
那么令：
p-2-√(p^2-4p)=1，p-2+√(p^2-4p)=4，解答p=9/2不符合正整数。
或者：
p-2-√(p^2-4p)=2，p-2+√(p^2-4p)=2，解得p=4

故p=q=2，x=2

Answer 2

虽然已有网友推荐答案，但发现之前的答案不完整，特此更正，希望对楼主有帮助
设方程x^2-px+q=0的根为a,b,方程x^2-qx+p=0的根为c,d
所以a+b=cd;ab=c+d
当a,b,c,d>=2时，不难证出a+b<=ab;c+d<=cd，所以a+b=ab;c+d=cd，所以a=b=c=d=2，所以p=q=2
当a,b,c,d>=2不成立时，不妨设a=1，则1+c+d=cd，所以c=(1+d)/(d-1)=1+2/(d-1)，所以d=2;c=3;b=5或d=3;c=2;b=5，所以p=6;q=5
所以共两组解：p=q=2或p=6;q=5

Answer 3

由求根公式得x^2-px+q=0中
x1，x2="2分之p加减根号下p^2-4q"（这里打不了公式，凑活一下）
在方程x^2-qx+p=0中
x3，x4=="2分之q加减根号下q^2-4p"
根号的非负性得p^2-4q不小于0，
q^2-4p不小于0，
故p^2-4q=0，
p=2倍根号q，
且p，q均为偶数，可能的正整数p、q应有无数对吧。
有什么不明白可以继续问，随时在线等。
如果我的回答对你有帮助，请及时选为满意答案，谢谢~~

追问

根为有理数，你找几个带进去，不是都行的

追答

我只说是武无数对
没有说都可以
p=2倍根号q，且p，q均为偶数，
这样的数对才是都可以的
望采纳

追问

''是什么意思，看不懂

追答

你忽略吧，不小心打上的

求根公式学过吧

追问

p^2-4q不小于0 还可以＞0啊，凭什么p^2-4q=0

追答

现在有更好的思路了
q是正整数，q/2也是正整数，
4q是完全平方数，q最小是4，如果q>4的话，
x^2-qx+p=0会有一个根是负的（你可以自己试试），
所以p=q=4

追问

好啊，那就试一下p=q=6
p^2-4q=36-24=12
-b=6
绝对都是正的啊

追答

x^2-6x+6=0
得到的不是正整数

追问

那么请证明除p=q=4之外没有别的值满足题目要求

追答

通过求根公式，这个打字会很累的

很容易推导的
看我这么不容易，能不能先采纳我再说啊

Answer 4

两式相减 得(x+1)(q-p)=0 所以x=-1或q=p
当x=-1时 带入x^2-px+q=0,x^2-qx+p=0 得p+q=-1 因为p,q皆大于0 所以不合题意
当p=q时 成立 此题 p和q的取值就是正整数，无法求出具体值
可追问 望采纳

追问

不是所有正整数都行的

追答

请举例
p和q的取值就是正整数，无法求出具体值

追问

当p=q＜4时，没有实数根，反例还有很多

追答

Δ≥0 得 p^2-4p≥0 解得 p=0或p=4 因为p=q 所以q=p≥4时 成立

追问

如果p=q=6,p^2-4q=12，此时方程的根不是正整数

追答

p=q=6时 方程的根是正的 用求根公式看看
如果满意 望采纳

追问

根是正的没有问题，但不是正整数

追答

那么 p=q=4 使上述两式根为正整数

追问

那么请证明除此之外没有别的值满足题目要求

追答

式子的根为p-√(p^2-4p)=2x(设x为式子的解，且为正整数)
整理得p=x+x/(x-1) 只有当x=2时p为正整数
其他的x不能使p为正整数，所以只有当p=q=4时 满足题意
望采纳

Answer 5

-px+q=-qx+p
(q-p)x=p-q
若p≠q, 则x=-1是该方程的一个解，1+p+q=0,由于p,q>0,故此时无解。
若p=q
则x^2=p(x-1) p=x^2/(x-1) 由于x是偶数时x-1是奇数，x>2时，x^2此时不可能被x－1整除。
x是奇数(且x>1)时，x－1是偶数x^2是奇数。此时不可能被x－1整除。
故只有x＝2 p=q=4满足条件。