如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝43，AD=3，∠B=30°．动点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在线
如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝43，AD=3，∠B=30°．动点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在线段BC上运动；动点F同时从点B出发，以每秒2个...
如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝43，AD=3，∠B=30°．动点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在线段BC上运动；动点F同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在线段BC上运动．以EF为边作等边△EFG，与梯形ABCD在线段BC的同侧．设点E、F运动时间为t，当点F到达C点时，运动结束．（1）当等边△EFG的边EG恰好经过点A时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与梯形ABCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点F到达C点时，将等边△EFG绕点E旋转α°（0＜α＜360），直线EF分别与直线CD、直线AD交于点M、N．是否存在这样的α，使△DMN为等腰三角形？若存在，请求出此时线段DM的长度；若不存在，请说明理由．
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（1）当EG经过点A时，作AP⊥BC于P，
∴∠APB=90°．
∵∠B=30°，
∴AP=
AB．
∵AB=4
，
∴AP=2
．
∴BP=6，
∴CR=6．BC=6+6+3=15．
∵△EGF为等边三角形，
∴∠AEF=60°=∠B+∠BAE
∴∠BAE=∠B=30°
∴BE=AE=t=EF
∴此时G与A，重合，
∴∠PAE=30°，
∴EP=
AE=
t．
∴在Rt△AEP中
t2-
t2=12，
解得：t=4s．
答：当等边△EFG的边EG恰好经过点A时，求运动时间t的值为4s；
（2）当0＜t≤4时，如图2，作GP⊥BC于P，
∴∠GPE=90°．
∵BF=2t，BE=t，
∴EF=t．
∵△GEF是等边三角形，
∴EG=FG=EF=t，∠GEF=∠GFE=60°，
∴GP=
t．
∴S=
×t×
t=
t2；
当4＜t≤
时，如图4，作HP⊥BC于P，
∴HP=2
∴∠APB=90°．
∵∠B=30°，
∴AP=
| 1 |
| 2 |
∵AB=4
| 3 |
∴AP=2
| 3 |
∴BP=6，
∴CR=6．BC=6+6+3=15．
∵△EGF为等边三角形，
∴∠AEF=60°=∠B+∠BAE
∴∠BAE=∠B=30°
∴BE=AE=t=EF
∴此时G与A，重合，
∴∠PAE=30°，
∴EP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴在Rt△AEP中
t2-
| 1 |
| 4 |
解得：t=4s．
答：当等边△EFG的边EG恰好经过点A时，求运动时间t的值为4s；
（2）当0＜t≤4时，如图2，作GP⊥BC于P，
∴∠GPE=90°．
∵BF=2t，BE=t，
∴EF=t．
∵△GEF是等边三角形，
∴EG=FG=EF=t，∠GEF=∠GFE=60°，
∴GP=
| ||
| 2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
当4＜t≤
| 11 |
| 2 |
∴HP=2
<
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