Question

重心数学题

已知等边三角形ABC的边长为3cm，EF∥BC，沿EF翻折后点A落在如图所示的位置D处，与BC的交点分别为M、N．
（1）观察图形，请指出图形中存在的所有特殊四边形，并选择其中之一给出证明；（2）如果AE＝2BE，那么五边形AEMNF的面积是多少？

Answer 1

（1）观察图形，请指出图形中存在的所有特殊四边形
四边形AEDF是菱形；四边形EFCM、EFNB是平行四边形
证明四边形AEDF是菱形：
因为EF∥BC，等边三角形ABC
所以AE=AF，又沿EF翻折后点A落在如图所示的位置D处
所以DE=DF=AE=AF，所以四边形AEDF是菱形
（2）如果AE＝2BE，
等边三角形ABC的边长为3cm
所以BE=BM=1，CF=CN=1，MN=1，S∆BME=S∆CNF=（1/2）*1*√3/2=√3/4
五边形AEMNF的面积=S∆ABC-2*S∆BME=9√3/4-2√3/4=7√3/4

Answer 2

（1）菱形AEDF、平行四边形EFNB、EFCM
证明EFNB是平行四边形
∵<FEA=60°
∴<FEB=120°
∵EFD=<AFE=60°
∴<EFD+<FEB=180°
∴FD∥EB
又∵EF∥BC
∴四边形EFNB是平行四边形
（2）AE＝2BE，所以易证EFNM都是各边三等分点
S(AEMNF)=S(ABC)-S(EBM)-S(NFC)=√3/4（3）²-√3/4（1）²x2=9√3/4-√3/2=7√3/4

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Answer 3

（1）
a)四边形AEDF是菱形；
b)四边形EBNF,EMCF是平行四边形
证明：
a)因为EF∥BC，
所以∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，所以∠AEF=∠AFE
那么,AE=AF;
而，AE=ED,AF=FD(翻折效果)
那么四边形AEDF四边相等，所以是菱形
b)因为EF∥BC
所以∠AEF=∠ABC=60°……(1)
∠FEB=180°-∠ABC=120°……（2）【两直线平行，同旁内角互补】
由(1)知，∠FED=∠AEF= 60°(翻折效果)……（3）
由(2),(3)知，∠BED=∠FEB-60°=60°
那么，∠BED=∠EDF
也就是BE∥DF
所以EBNF是平行四边形。同理,EMCF也是平行四边形
（2）显然，等边△EBM∽等边△ABC，那么面积比为边长比的平方，
已知AE＝2BE，那么边长比为1:3
也就是，面积△EBM：面积△ABC=1:9
同样，面积△FNC：面积△ABC=1:9
所以五边形的面积=面积△ABC-面积△EBM-面积△EBM
=(7/9) *面积△ABC
而，面积△ABC=3*（3*sin60°）/2=（9√3)/4
那么五边形面积=（7√3)/4

Answer 4

1. AEDF为菱形，MNFE为等腰梯形，EFMC与EFNB为平行四边形，

   证明AEDF为菱形,由于AE=AF,且FD=AF，所以AEDF为菱形

2. 设AE=2，则BE=1,AB=3，BC=AB=3，由△AEF∽△ABC，EF/BC=AE/AB..EF=2=AE,再由角A=60°，△AEF为等边△，且与△DEF全等。五边形面积等于两倍△AEF面积-△DMN面积。

   作AH⊥AD交BC为H，交EF为O，连接HD。△AEF的高为AH=3√3/2（勾股定理），由△AOE∽△AHB,得AO=√3，DH=AO-OH=√3/2。

   再由△BME,△MDN,△NFC都是边长为1的等边三角形，五边形面积=2×1/2×EF×AO-1/2×MN×HD=2×√3-1/2×1×√3/2=7√3/4

   
   

   
   

Answer 5

(1)四边形AEDF是菱形
（2）五边形AEMNF的面积等于四边形AEDF的面积减去三角形MND的面积
四边形AEDF的面积等于2倍三角形AEF的面积
三角形MND的面积和三角形EBM的面积相等。
又因为 AE＝2BE
所以 三角形AEF的面积是三角形EBM的面积的四倍
所以五边形AEMNF的面积等于7倍的三角形EBM的面积＝7*1*0.5*1.732（根号3）＝6.062

Answer 6

AEDF为菱形。EFNM EFCB为等腰梯形。ERNB EFCM为平行四边形。
EF∥BC,△ABC为等边三角形，AE=AF=FD=DE,AEDF为菱形。

△ABC的面积=9√3/4
五边形AEMNF的面积=(9√3/4)*8/9=2√3