Question

已知函数f（x）=ln（x+1a）-ax，其中a∈R且a≠0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）＜ax恒成

已知函数f（x）=ln（x+1a）-ax，其中a∈R且a≠0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）＜ax恒成立，求实数a取值范围；（3）若方程f（x）=0存在两个异号实根x1，x2，求证：x1+x2＞0．

Answer 1

（1）f（x）定义域为（?

1

a

，+∞），
其导数f′（x）=?

a2x

ax+1

，
①当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（?

1

a

，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，在区间（?

1

a

，0）上，f′（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（?

1

a

，0）上是增函数，在（0，+∞）是减函数；
（2）当a＜0时，则x取适当的数能使f（x）≥ax，比如取x=e?

1

a

，
能使f（e?

1

a

）=1-a（e?

1

a

）=2-ae＞ae-1=a（e?

1

a

），
∴a＜0不合题意，
当a＞0时，令h（x）=ax-f（x），则h（x）=2ax-ln（x+

1

a

），
问题化为求h（x）＞0恒成立时a的取值范围．
由于h′（x）=2a-

1

x+ 1 a

=

2a(x+ 1 2a )

x+ 1 a

，
∴在区间（?

1

a

，?

1

2a

）上，h′（x）＜0；在区间（?

1

2a

，+∞）上，h′（x）＞0，
∴h（x）的最小值为h（?

1

2a

），所以只需h（?

1

2a

）＞0，
即2a-（?

1

2a

）-ln（(?

1

2a

+

1

a

)＞0，∴ln

1

2a

＜-1，∴a＞

e

2

；
（3）由于f（x）=0存在两个异号实根x₁，x₂，不仿设x₁＜0，?

1

a

＜x1＜0，a＞0，
造函数：g（x）=f（-x）-f（x），?

1

a

＜x＜0，
∴g(x)＝ln(

1

a

?x)?ln(x+

1

a

)+2ax，
∴g′(x)＝

2ax2

x2? 1 a2

＜0，
∴g（x）在?

1

a

＜x＜0，为减函数，又?

1

a

＜x1＜0，
∴g（x₁）＞g（0）=0，
∴f（-x）-f（x）＞0，f（x₁）=0，
∵f（-x₁）＞0=f（x₂），
∴x₁+x₂＞0．