Question

求微分方程2y″+y′-y=2ex的通解

求微分方程2y″+y′-y=2ex的通解．

Answer 1

∵微分方程两边除以2，得同解的微分方程y″+

1

2

y′?

1

2

y＝ex
对应的齐次方程为y″+

1

2

y′?

1

2

y＝0
∴特征方程为r2+

1

2

r?

1

2

＝0，解得特征根为：r1＝?1，r2＝

1

2

∴齐次方程的通解为：y＝C1e?x+C2e?

1

2

x
由于f（x）=e^x，而λ=1是不是特征方程的根
∴设特解为y^*=be^x
将其代入原方程，解得b=1
∴原微分方程的通解为
y＝C1e?x+C2e?

1

2

x+ex