Question

如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，

（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

Answer 1

答：
（1）点A（-3,0）和点B（-1,0)代入抛物线方程y=ax^2+bx+3得：
9a-3b+3=0
a-b+3=0
解得：a=1，b=4
所以：抛物线解析式为y=x^2+4x=3

（2）抛物线y=x^2+4x+3与y轴交于点C(0,3)，OA=OC=3
所以：△AOC是等腰直角三角形。
所以：cos∠CAB=cos45°=√2/2；sin∠CAB=√2/2。
BC=√[(3-0)^2+(-1-0)^2]=√10
根据正弦定理：2R=BC/sin∠CAB=√10/(√2/2)=2√5
所以：R=√5
所以：cos∠CAB=√2/2，圆O1的半径为√5.

（3）抛物线y=x^2+4x+3顶点P（-2，-1），BC=√10，BP=√2，CP=2√5。
圆O1关于抛物线对称轴x=-2对称，与抛物线的交点分布在对称轴的两侧并且
相互对称，所以点D和点C关于x=-2对称，点D为（-4,3），所以点M为（-5/2,3/2）。
BM=3√2/2——实在有好多个满足条件的点N，单这个小题就能整死人，计算太多了。

追问

(3)点N有几个啊？

追答

大致观察了一下有12个：
BM作为最短边有4个；BM作为第二长边有4个；BM作为最长边也有4个。