Question

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）求三棱锥A-B1DE的体积．

Answer 1

解答：
解：（1）证明：连接BD，AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵EC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴EC⊥BD，且EC∩AC=C，
∴BD⊥平面AEC，
又AE?平面AEC，∴BD⊥AE；-----------（4分）
（2）证明：连接AC₁，设AC₁∩B₁D=G，
则G为AC₁的中点，E为C₁C的中点，
∴GE为△ACC₁的中位线，
∴AC∥GE，GE?平面B₁DE，AC?平面B₁DE，
∴AC∥平面B₁DE；
（3）由（2）知，点A到平面B₁DE的距离等于点C到平面B₁DE的距离，
∴三棱锥A-B₁DE的体积是
V锥A?B1DE=V锥C?B1DE=

1

3

S△B1DE?DC=

1

3

×（

1

2

×1×2）×2=

2

3

，
∴三棱锥A-B₁DE的体积为

2

3

．