Question

设双曲线x2/a2－y2/b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，

直线l：x＝a2/c与两条渐近线交于P、Q两点，右焦点为F，且三角形PQF为正三角形，求它的离心率

Answer 1

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1
c^2=a^2+b^2
易求得右焦点F=F(c,0)
渐近线为y=±bx/a
x=a^2/c与渐近线交于P,Q两点
易求得P,Q两点坐标为(a^2/c,ab/c),(a^2/c,-ab/c)
∴P,Q两点的距离为|PQ|=2ab/c
且双曲线关于x轴对称，则有
|PF|=|QF|=√[(c-a^2/c)^2+(ab/c)^2]=b
又三角形PQF为正三角形，则有
|PQ|=|PF|=|QF|，即有
2ab/c=b => a/c=1/2
∴离心率e=c/a=2