Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC,AC于点D，连接EB交OD于点F。

（1）求证：OD垂直于BE（2）若DE=二分之根号五，AB=5/2,求AE的长。

Answer 1

（1）连接AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∵AB=AC，

∴DC=DB．

∵OA=OB，

∴OD∥AC．

∴∠OFB=∠AEB=90°，

∴OD⊥BE．

（2）设AE=x，

∵OD⊥BE，

∴可得OD是BE的中垂线，

∴DE=DB，

∴∠1=∠2，

∴BD=ED=√5/2 ，

∵OD⊥EB，

∴FE=FB．
∴OF=1/2AE=1/2x，DF=OD-OF=5/4 -1/2x．

在Rt△DFB中，BF�0�5=DB�0�5-DF�0�5=(√5/2)�0�5-(5/4-1/2x)�0�5；

在Rt△OFB中，BF�0�5=OB�0�5-OF�0�5=(5/4)�0�5-(1/2x)�0�5；

∴=(√5/2)�0�5-(5/4-1/2x)�0�5=(5/4)�0�5-(1/2x)�0�5

解得x=3/2 ，

即AE=3/2 ．

Answer 2

1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°．
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．
解答：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．(∠1=∠EAB,．∠2=∠ABE)
∵AB=AC，
∴∠1=
1/2∠CAB．
∵∠CBF=
1/2∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵sin∠CBF=
√5/5，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=
√5/5
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=
√5，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2
√5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2√
5，
∴sin∠2=
2√5/5，cos∠2=
√5/5，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
GC/BF=AG/AB
∴BF=
GC•AB/AG=
20/3