Question

已知函数f(x)=x^3+2x^2+x-4,g(x)=ax^2+x-8(1).若对任意x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围。

已知函数f(x)=x^3+2x^2+x-4,g(x)=ax^2+x-8(1).求函数f(x)的极值。（2）若对任意x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围。

Answer 1

(1) 解f'(x)=3x^2+4x+1=0,得x1=-1,x2=-1/3，所以当x=-1时，f(x)取得极大值为-4，当x=-1/3时，f(x)取得极小值为-1/27+2/9-1/3-4=-112/27。(2) 因f(x)≥g(x)，所以f(x)- g(x)≥0，令F(x)=f(x)- g(x)=x^3+2x^2+x-4-ax^2-x+8=x^3+(2-a)x^2+4，当a≤2时，x≥0，F(x)≥0 恒成立；当a>2时，由于F'(x)=3x^2+2(2-a)x 的两根分别为0、2(a-2)/3，所以当x=0和2(a-2)/3时，F(x)分别取得极大值和极小值，则当F[2(a-2)/3]=8/27*(a-2)^3-4/9*(a-2)^3+4≥0时，满足x≥0，F(x)≥0，此时a ≤5，综上所述，实数a的取值范围为(-∞，5]。

Answer 2

不好意思,做完了忘了提交了,刚刚才发现...1)f(x)=x�0�6+2x�0�5+x-4, f'(x)=3x�0�5+4x+1=(x+1)(3x+1)令f'(x)>=0, 则x>=-1/3,或x<=-1;令f'(x)<=0, 则-1<=x<=-1/3∴f(x)单调增区间为(-∞,-1]和[-1/3,+∞),单调减区间为[-1,-1/3]∴f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=-1+2-1-4=-4;f(x)在x=-1/3处取得极小值f(-1/3)=-1/27+2/9-1/3-4=-112/272)设h(x)=f(x)-g(x)=x�0�6+(2-a)x�0�5+4, 即x>=0是h(x)>=0恒成立h'(x)=3x�0�5+2(2-a)x=3x[x-2(a-2)/3]若a<=2, 则2-a>=0, h'(x)>=0,即h(x)在[0,+∞)上单调增, 只要使得最小值h(0)>0, h(0)=4>0显然成立若a>2, 则令h'(x)>=0, 则x>=2(a-2)/3;令h'(x)<=0,则0<x<=2(a-2)/3 ∴h(x)在(0,2(a-2)/3]上单调减,在[2(a-2)/3,+∞)上单调增 ∴最小值在x=2(a-2)/3处取得, h(2(a-2)/3)=8(a-2)�0�6/27-4(a-2)�0�6/9+4=4-4(a-2)�0�6/27>=0 ∴(a-2)�0�6<=27, a-2<=3, a<=5, 即2<a<=5综上,a<=5,即a的取值范围为(-∞,5]