Question

高中数学：已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x),(x>0)或-f(x),(x<0)

已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x),(x>0)或-f(x),(x<0)
1）若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0,+∞），求f（x）的表达式
2）在（1）的条件下，当x∈【-2,2】时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围
3）设m*n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于0？

Answer 1

f(-1)=0,可得-a+b-1=0,由值域可得b*b-4*a*c=0,可得a=1,b=2
画出图可知（2-k）/-2<=-2或>=2.
由题可知b=0,不妨设m>0,n<0,则m>-n即|m|>|n|,F(m)+F(n)=a(m*m-n*n)>0恒成立

Answer 2

1)f(-1)=a-b+1=0.f(x)>=0恒成立，所以对称轴-b/2a=-1，所以a=1,b=2.所以f(x)=x^2+2x+1
2)g(x)=x^2+(2-K)x=1,所以（k-2)/2<=-2或（k-2)/2》2得k《-2或k》6

Answer 3

1)f(-1)=a-b+1=0.f(x)>=0恒成立，所以对称轴-b/2a=-1，所以a=1,b=2.所以f(x)=x^2+2x+1
2)g(x)=x^2+(2-K)x=1,所以（k-2)/2<=-2或（k-2)/2》2得k《-2或k》6

Answer 4

1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0①（1分）
又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0
且由y＝a(x+
b
2a
)2+
4a−b2
4a
知
4a−b2
4a
＝0即4a-b2=0②
由①②得a=1，b=2（3分）
∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．
∴F(x)＝

(x+1)2(x＞0)
−(x+1)2(x＜0)

（5分）
（2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1=(x+
2−k
2
)2+1−
(2−k)2
4
，（7分）
当
k−2
2
≥2或
k−2
2
≤−2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是具有单调性．（9分）
（3）∵f（x）是偶函数
∴f（x）=ax2+1，∴F(x)＝

ax2+1(x＞0)
−ax2−1(x＜0)

，（11分）
∵m＞0，n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am2+1）-an2-1=a（m2-n2）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）