Question

求y=sinx-2/cosx-2的值域

Answer 1

利用三角形函数有界性y=sinx/(cosx-2)ycosx-2y=sinx-2y=sinx-ycosx-2y=√(1+y²)sin(x-φ)tanφ=y/1,这里是参数，对结果无影响sin(x-φ)=-2y/√(1+y²)∵-1<=sin(x-φ)<=1∴-1<=-2y/√(1+y²)<=1∴4y²/(1+y²)<=14y²<=1+y²y²<=1/3∴-√3/3<=y<=√3/3值域是[-√3/3,√3/3]

Answer 2

y=(sinx-2)/(cosx-2)
ycosx-2y=sinx-2
ycosx-sinx=2(y-1)
令cost=y/√(y²+1)，sint=1/√(y²+1)
√(y²+1) * {cosxcost-sinxsint} = 2(y-1)
cos(x+t) = 2(y-1)/√(y²+1)∈【-1，1】
4(y-1)²/(y²+1)∈【0，1】
4(y-1)²≤y²+1
3y²-8y+3≤0
y²-8/3y≤-1
(y-4/3)²≤7/9
-√7/3≤y-4/3≤√7/3
(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3

追答

即，值域为：
【(4-√7)/3，(4+√7)/3】

Answer 3

求y=(sinx-1)/(cosx+2)的值域。
利用三角函数的有界性（结合辅助角公式）
ycosx+2y=sinx-1,
sinx-
ycosx=1+2
y,
√(y²+1)sin(x+α)
=1+2
y,
sin(x+α)
=(1+2
y)/√(y²+1)
∵|sin(x+α)|≤1
∴|(1+2
y)/√(y²+1)|
≤1
-4/3≤y≤0.
∴函数值域为[-4/3,0].