求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体
该长方体的体积为：(8/9)(根号3)a^3。
具体的求解过程为：
设该长方体的体积为v，长、宽、高分别为x、y、z
则该长方体的体积为：V=xyz
因为是内接于半径为a的球，所以可以得到约束条件：x^2+y^2+z^2=4a^2
写出该约束条件下的拉格朗日函数：F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)
所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:
yz+2λx=0
xz+2λy=0
xy+2λz=0
而:x^2+y^2+z^2=4a^2
解方程组,得:x=y=z=(2/3)(根号3)a
所以最大体积为=xyz=(8/9)(根号3)a^3
扩展资料:
1、求函数在给定区间上的极值，对自变量没有其它要求，这种极值称为无条件极值。
2、对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值，称为条件极值。求多元函数的条件极值一般是使用拉格朗日乘数法，并通过偏微分求出。
在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
该长方体的体积为：(8/9)(根号3)a^3。
具体的求解过程为：
设该长方体的体积为v，长、宽、高分别为x、y、z
则该长方体的体积为：V=xyz
因为是内接于半径为a的球，所以可以得到约束条件：x^2+y^2+z^2=4a^2
写出该约束条件下的拉格朗日函数：F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)
所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:
yz+2λx=0
xz+2λy=0
xy+2λz=0
而:x^2+y^2+z^2=4a^2
解方程组,得:x=y=z=(2/3)(根号3)a
所以最大体积为=xyz=(8/9)(根号3)a^3
扩展资料:
拉格朗日乘数法是用来求条件极值的，极值问题有两类，其一，求函数在给定区间上的极值，对自变量没有其它要求，这种极值称为无条件极值。其二，对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值，称为条件极值。求多元函数的条件极值一般是使用拉格朗日乘数法，并通过偏微分求出。
简单计算一下即可，答案如图所示
x^2+y^2+z^2=4a^2
F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)
所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:
yz+2λx=0
xz+2λy=0
xy+2λz=0
而:x^2+y^2+z^2=4a^2
解方程组,得:
x=y=z=(2/3)(根号3)a
最大体积=xyz=(8/9)(根号3)a^3
