Question

5/(2*3*4)+7/(3*4*5)+9/(4*5*6)+...+19/(9*10*11)

Answer 1

∵5/（2×3×4）＝（1/4）（1/2＋1/3）＝（1/2）（1/2－1/4）＋1/3－1/4，
　7/（3×4×5）＝（1/5）（1/3＋1/4）＝（1/2）（1/3－1/5）＋1/4－1/5，
　9/（4×5×6）＝（1/6）（1/4＋1/5）＝（1/2）（1/4－1/6）＋1/5－1/6，
　11/（5×6×7）＝（1/7）（1/5＋1/6）＝（1/2）（1/5－1/7）＋1/6－1/7，
　13/（6×7×8）＝（1/8）（1/6＋1/7）＝（1/2）（1/6－1/7）＋1/7－1/8，
　15/（7×8×9）＝（1/9）（1/7＋1/8）＝（1/2）（1/7－1/9）＋1/8－1/9，
　17/（8×9×10）＝（1/10）（1/8＋1/9）＝（1/2）（1/8－1/10）＋1/9－1/10，
　19/（9×10×11）＝（1/11）（1/9＋1/10）＝（1/2）（1/9－1/11）＋1/10－1/11。
∴将上述8个等式左右分别相加，得：
5/（2×3×4）＋7/（3×4×5）＋9/（4×5×6）＋······＋19/（9×10×11）
＝（1/2）（1/2＋1/3－1/10－1/11）＋1/3－1/11
＝1/4＋（1/3）（1/2＋1）－1/10－（1/11）（1/2＋1）
＝1/4＋1/2－1/10－3/22
＝3/4－1/10－3/22
＝（1/2）（3/2－1/5－3/11）
＝（1/2）［（15－2）/（2×5）－3/11］
＝（1/2）（13/10－3/11）
＝（1/2）（143－30）/110
＝113/220。