Question

用数学归纳法证明:·1-1/2+1/3-1/4...+1/2n-1-1/2n=1/n+1+1/n+2+...1/2n时，在作出归纳假设后，

需要证n=k+1时命题成立，即证___________________

Answer 1

要证明该式，只需证明两点：一、n=1时命题成立；二、若n=k时命题成立，则n=k+1时命题同样成立。
显然当n=1时，1-1/2=1/2成立。
若n=k时命题成立，按题意，1-1/2+1/3-1/4…+1/(2k-1)-1/2k=1/(k+1)+…+1/2k。则当n=k+1时，左式变为1-1/2+1/3-1/4…+1/(2k+1)-1/(2k+2)。两式相减，得[1-1/2+1/3-1/4…+1/(2k+1)-1/(2k+2)]-[1-1/2+1/3-1/4…+1/(2k-1)-1/2k]=1/(2k+1)-1/(2k+2)，因此1-1/2+1/3-1/4…+1/(2k+1)-1/(2k+2)=[1/(k+1)+…+1/2k]+1/(2k+1)-1/(2k+2)=1/(k+1)+…+1/2k+1/(2k+1)+1/(2k+2)-1/(k+1)=1/(k+2)+…+1/(2k+2)。

Answer 2

1-1/2+1/3-1/4...+1/2n-1-1/2n=1/n+1+1/n+2+...1/2n
当n=k时，等式
1-1/2+1/3-1/4...+1/(2k-1)-1/(2k)=1/(k+1)+1/(k+2)+...1/(2k)成立
那么当n=k+1时，需证明
1-1/2+1/3-1/4...+1/(2k-1)-1/(2k)+1/(2k+1)-1/(2k+2)
=1/(k+2)+1/(k+3)+........+1/(2k)+1/(2k+1)+1/(2k+2)