Question

如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P从点D出发沿DA向终点A运动,同时动点Q从点A出发

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．（1）求PE、AE的长（用x的代数式表示）（2）当△PAQ∽△BCE时，求x的值；（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
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Answer 1

(1)
因为 AD=BC=4, CD=AB=3, PD=t，
所以 AC=5，AP=4-x
所以 PE=y=CD*AP/AD=3*(4-x)/4=3-3x/4
AE=AC*AP/AD=5*(4-x)/4=5-5x/4
(2)
若四边形PQBE 为梯形，则 PQ//BE
因此 三角形APQ相似三角形CBE
所以 AP/BC=AQ/CE
因为 CE=AC-AE=5-(5-5x/4)=5x/4
于是 (4-x)/4=t/(5x/4)=4/5
解得 x=4/5
故当运动时间4/5 秒时，PQBE是梯形

(3)
要使PQE为等腰三角形，那么
a) PQ=EQ
显然，只有AE>AQ 时，才有可能 PQ=EQ成立。
因为 APE 是直角三角形，PQ=EQ，Q是AE的中点
2x=5*(4-x)/4 得 x=20/13

b) PE=EQ
则 3-3x/4=5-5x/4-x 及 3-3x/4=x-5+5x/4
解得 x=4/3 及 x=8/3

c) PQ=PE
显然，只有AE>AQ 时，才有可能 PQ=PE成立。
若PQ=PE , 则有 (EQ/2)/CD=PE/AC
(5-5x/4-x)/2=3*(3-3x/4)/5 解得 x=28/27
因此，当x=20/13, 4/3, 8/3, 28/27 时，PQE是等腰三角形。
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不对吧。。。