Question

第14题的积分怎么求？

Answer 1

设 x = sinθ，则 dx = cosθ * dθ。那么，这个积分可以变换为：
=∫sinθ*√(1-sin²θ) * (cosθ*dθ)
=∫sinθ*√(cos²θ) * cosθ * dθ
=∫sinθ*cos²θ *dθ
=∫cos²θ * (sinθ*dθ)
=-∫cos²θ * (-sinθ *dθ)
因为 d(cosθ) = -sinθ*dθ，那么上面的积分就可以变换为：
=-∫cos²θ*d(cosθ)
=-1/3 * (cos³θ) + C

追问

你这不是14题吧

追答

设 x = sin²θ，则 dx = 2sinθ*cosθ*dθ
那么，上面的积分可以变换为：
=∫sin²θ*√(1-sin²θ) * (2sinθ*cosθ*dθ)
=∫sin²θ*cosθ*2sinθ*cosθ*dθ
=1/2*∫sinθ*(2sinθ*cosθ)²*dθ
=1/2*∫sinθ*(sin2θ)²*dθ
=1/4*∫sinθ*[2sin²(2θ)]*dθ
=1/4*∫sinθ*(1-cos4θ)*dθ
=1/4*∫sinθ*dθ - 1/4*∫sinθ*cos4θ *dθ
=-1/4*cosθ - 1/8 *∫(sin5θ-sin3θ)*dθ
=-1/4*cosθ - 1/8*∫sin5θ*dθ + 1/8*∫sin3θ*dθ
=-1/4*cosθ + 1/40 * cos5θ - 1/24 * cos3θ + C
=-1/4*(1-x²) + 1/40 * (cosθ*cos4θ - sinθ*sin4θ) - 1/24 * (cosθ*cos2θ-sinθ*sin2θ)+C
=-1/4*(1-x²) + 1/40 * ……
不管怎么化简，没有正确的答案选项。

追问

谢谢你啊😁