Question

初中数学难题，高手快来吧

已知X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10都是正整数，且X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10=24则X1²+X2²+X3²+X4²+X5²+X6²+X7²+X8²+X9²+X10²的最大值与最小值的和是___

Answer 1

这个题考查的是 平方和

说简单点，就是 有十个正整数，他们的和是24，求他们的平方和的最大值和最小值。

因为都是正整数，那么平方最小的是1²=1

假设前9个数都是1，那么最后一个数是15，也就是说这里面最大的平方数就是15²=225

这样，你依次算出

1    1    

2    4    

3    9    

4    16    

5    25    

6    36    

7    49    

8    64    

9    81    

10    100    

11    121    

12    144    

13    169    

14    196    

15    225    

看下面这个图，过了坐标（1，1）之后y=x²显著加快增长速度

能够看到X越大，它的平方就更大，

所以最小值应该出现在让这10个数分布均匀的位置24/10=2.4

我们分别把2和3带入到式子中

代入2得九个2和一个6→2*9+6*1=24 算出来结果是4*9+36*1=72

代入3得七个3和三个1→3*7+1*3=24 算出来结果是9*7+1*3=66

说明最小值是66

最大值自然是15，其他9个数都等于1，得出结果是225+9=234

最大值和最小值之和是234+66=300

Answer 2

最大值是，数列越两极化越好（证略）。。。所以，是1，1，1，1，。。。。1，1，15；

最小值是，数列越平均越好。。。所以，是2，2，2，2，2，2，3，3，3，3；

最后算出来是234+60=294

Answer 3

补充一楼的。数据越均匀，平方和越小。与 方差 是一个道理。数据相差越大，平方和越大。
最小值，取x1到x10 为6个2，4个3，算出平方和为60。一楼说了最大值为234。所以和为294。

Answer 4

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10=55X=24 那么之前X1怎么会是正整数？？？
同求

Answer 5

225+9+6*4+4*9=294

Answer 6

10个数的和确定，平方和的取值（在题述的正整数前提下）取决于10 个数的悬殊程度，即差别最大时去最大值，差别最小时取最小值。9个1和一个15时最大，为234；24/10=2.4，为保证差别小，取2和3，设取x个2，（10-x）个3；4*x+9*（10-x），由10个数的和为24，得x=6。最小为4*6+9*4=60；60+234=294