Question

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B=60° 若a=(√3-1)c,若b=1求△ABC的面积最大值

在△ABC中,角A,B,C所对大小的边分别为a,b,c,已知B=60° 若a=(√3-1)c,
1若a=(√3-1)c,求角A
2若b=1求△ABC的面积最大值

Answer 1

1) 已知B=60°, A+C=120°, C=120°-A
a/sinA=c/sin(120-A)
(√3-1)c/sinA=c/sin(120-A)
sinA=(√3-1)sin(120-A)=(√3-1)(√3/2cosA+1/2sinA)
sinA-1/2(√3-1)sinA=(√3-1)√3/2cosA
(3-√3)/2*sinA==√3(√3-1)/2cosA
tanA=√3(√3-1)/(3-√3)=1 A=45°
2) 若b=1
1=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≧2ac-ac=ac
1≧ac
△ABC的面积=(1/2)ac*sinB
≦(1/2)*1*(√3/2)=√3/4
当且仅当a=c时（等边三角形时）取到面积最大值√3/4

Answer 2

1， 过C点作AB垂线交D，可以得到垂线CD高度为sqrt(3)/2*a, 也就是[3-sqrt(3)]/2*c. 另外可得到AD为AB-BD, 可知c-1/2*a, 也就是[3-sqrt(3)]/2*c 由此可知AD=CD，所以角A为45度
2. 正弦定理可知 a=2/sqrt(3)*sinA, c= 2/sqrt(3)sin(120-A). 面积：1/2*ac*sinB= sqrt(3)/3*sinA*sin(120-A), 可以得到A=60时，面积：sqrt(3)/4

Answer 3

解1：
由正弦定理，有：a/sinA=b/sinB=c/sinC
a/sinA=c/sinC
sinA=asinC/c
已知：a=(√3-1)c
代入上式，有：
sinA=(√3-1)csinC/c
sinA=(√3-1)sinC………………………………(1)
因为A、B、C是△ABC的内角，
所以，有：A+B+C=180°
即：C=180°-A-B
已知：B=60°，
代入上式，有：
C=180°-A-60°
C=120°-A
代入(1)，有：
sinA=(√3-1)sin(120°-A)
sinA=(√3-1)(sin120°cosA-cos120°sinA)
sinA=(√3-1){[(√3)/2]cosA+(1/2)sinA}
sinA=[(√3-1)(√3)/2]cosA+[(√3-1)/2]sinA
sinA-[(√3-1)/2]sinA=[(3-√3)/2]cosA
[(3-√3)/2]sinA=[(3-√3)/2]cosA
(sinA)/cosA=[(3-√3)/2]/[(3-√3)/2]
tanA=1
A=arctan(1)
因为：180°＞A＞0°
所以：A=45°

解2：
由上解，知：△ABC中，A=45°、B=60°、C=75°、a=(√3-1)c
已知：b=1
由正弦定理：c/sinC=b/sinB
c=bsinC/sinB
c=1×sin75°/sin60°
c=sin(45°+30°)/sin60°
c=(sin45°cos30°+cos45°sin30°)/sin60°
c={[(√2)/2][(√3)/2]+[(√2)/2](1/2)}/[(√3)/2]
c=[(√6+√2)/4]/[(√3)/2]
c=[(√6+√2)/4]×[2/(√3)]
c=(√6+√2)/[2(√3)]
c=(√6+√2)(√3)/6
c=(3√2+√6)/6
所求三角形面积为：
S△ABC=c(bsinA)/2
=[(3√2+√6)/6](1×sin45°)/2
=[(3√2+√6)/6](√2)/2)/2
=[(3√2+√6)/6](√2)/4)
=(3√2+√6)(√2)/24
=(6+2√3)/24
=(3+√3)/12

关于第2问，多说一句：
当b给定时，三角形的面积，不可能存在最大值，也不可能存在最小值。
此时，三角形的面积是一个定数。

另：
为让楼主看清楚解题步骤，上面数写得比较啰嗦。