Question

请人解决一道高中立体几何的题目（请用空间向量知识解答），只要（Ⅲ）的解答过程.

Answer 1

建立以A为原点，以AB方向为X轴，以AD方向盘为Y轴，以AP方向为Z轴正方向的空间直角坐标系A-xyz
则点坐标：A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1/2,0,1)，
F(x,y,z)
向量PC=(1,1,-2)，向量PD=(0,2,-2)
设向量m(x1,y1,z1)是面PCD的一个法向量
向量PC·向量m=x1+y1-2z1=0
向量PD·向量m=2y1-2z1=0
令x1=1,则y1=1,z1=1
∴向量m=(1,1,1)==>|向量m|=√3
设向量AF=(x,y,z)
令向量AF=(x,y,z)=λ向量m=(λ,λ,λ)

向量PA=(0,0,-2)==>|向量PA|=2
∴点A到面PCD的距离d=|向量m·向量PA|/|向量m|=2√3/3
|向量AF|=√(3λ^2)=2√3/3==>λ=2/3
∴向量AF=(2/3,2/3,2/3)
|PF|=√[(-2/3)^2+(-2/3)^2+(2-2/3)^2]=2√6/3