Question

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、B

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC。
（1）求抛物线解析式
（2）BC的垂直平分线交抛物线与D、E两点，求直线DE的解析式
（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标

Answer 1

（2）
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．
∴△BMF∽△BCO，∴MFCO＝BFBO＝BMBC＝12．
∵B(4，0)，C(0，2)， ∴CO＝2，BO＝4，
∴MF＝1，BF＝2，
∴M(2，1)
∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，
设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，
在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，
∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝32，∴N(32，0)
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：
2k＋b＝132k＋b＝0，解得：k＝2b＝－3．
∴直线DE的解析式为y＝2x－3．

（3）它的对称轴为直线x＝52．
① 如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G(52，2)，
以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，
则∠CP1B＝∠CAB．
GA＝(52－1)2＋22＝52，
∴点P1的坐标为(52，－12)
② 如图4，由(2)得：BN＝52，∴BN＝BG，
∴G、N关于直线BC对称．
∴以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称．
⊙N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B＝∠CAB．
设对称轴与x轴交于点H，则NH＝52－32＝1．
∴HP2＝(52)2－12＝212，
∴点P2的坐标为(52，212)．
综上所述，当 点的坐标为(52，－12)或(52，212)时，∠CPB＝∠CAB．

追问

图呢？

追答

看着我的画啊  不是有提示么 泪奔了~~~~~~~~~~~~~

Answer 2

1、抛物线过A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，
0=a+b+c,0=16a+4b+c,2=c.
解出a=1/2,b=-5/2,c=2代入y=ax^2+bx+c即可。
2、BC线的斜率为-1/2，
∵BC的垂直平分线过D、E两点，DE直线的斜率为2，
B（4，0）、C（0，2）两点的中点为（2，1），此点过DE线，
∴DE线解析式为Y=2X-3.
3、抛物线的对称轴为X=5/2.
要使∠CPB=∠CAB，p点又在对称轴X=5/2上，CP需与AB平行，
∴p点坐标为（5/2，2）。
过程有点多，计算部分省去了，若不明白可追问。

追问

别的呢，这小题我会

Answer 3

发张照片。

追答