Question

大学数学线性代数总结

求一份关于线性代数的总结，各种结论，求强大，求给力

Answer 1

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 注：全体 维实向量构成的集合 叫做 维向量空间.注 √ 关于 ：①称为 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量 ；② 线性无关；③ ；④ ；⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示.行列式的定义 √ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若 都是方阵（不必同阶）,则 （拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线： （即：所有取自不同行不同列的 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式： 矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.记作： 或 伴随矩阵 ， 为 中各个元素的代数余子式.√ 逆矩阵的求法:① 注： ② ③ √ 方阵的幂的性质： √ 设 的列向量为 , 的列向量为 ，则 ， 为 的解 可由 线性表示.即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵.同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵.即： √ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵： 分块矩阵的逆矩阵： 分块对角阵相乘： , 分块对角阵的伴随矩阵： √ 矩阵方程的解法( )：设法化成 ① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）⑤ 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 .⑥ 向量组 中任一向量 ≤ ≤ 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.⑧ 维列向量组 线性相关 ； 维列向量组 线性无关 .⑨ 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法唯一.⑩ 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是 时，称为行最简形矩阵�7�6 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘 ；对 施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘 .矩阵的秩 如果矩阵 存在不为零的 阶子式，且任意 阶子式均为零，则称矩阵 的秩为 .记作 向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作： 向量组等价 和 可以相互线性表示. 记作： �7�7 矩阵 与 等价 ， 可逆 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 与 作为向量组等价 矩阵 与 等价.�7�8 向量组 可由向量组 线性表示 有解 ≤ .�7�9 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤ .�7�0 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价； �7�1 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.�7�2 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.�7�3 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.�7�4 设 是 矩阵,若 ， 的行向量线性无关； 若 ， 的列向量线性无关,即： 线性无关.√ 矩阵的秩的性质： ① ≥ ≤ ≤ ② ③ ④ ⑤ ≤ ⑥ 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ⑦若 ；若 ⑧ 等价标准型. 留个邮箱发给你

Answer 2

一.矩阵等价vs向量组等价

矩阵等价的充分必要条件是:同型且秩相等...经过初等变换之后的矩阵都是等价的...

向量组等价不可以推出矩阵等价...因为向量组的等价...列向量的个数可以不一样

也就是不满足同型.

向量组的等价:
两个向量组等价说明:这两个向量组可以互相线性表示...所以r(A)=r(B)

但是两个向量组可以有不同的线性相关性...

很明显:一个秩不为n的n维列向量组等价与它的最大无关组...

但是这两个向量组构成的矩阵不等价..原因是:不同型

这两个向量组的线性相关性也不一样....最大无关组...线性无关

n维列向量组...线性相关....

最后结论:!!!!两个等价不可以互推!!!!!

二.A vs 伴随矩阵 A*

(1)当 r(A)=n 时 r(A*)=n

(2)当 r(A)=n -1时 r(A*)=1

(3)当 r(A)<=n-2 时 r(A*)=0

证明如下:

(1)AA*=|A|E

因为r(A)=n ,推出A可逆，所以n=r(|A|E)=r(AA*)=r(A*)

(2)r(A)=n-1,推出|A|=0,且存在n-1阶子式非０，所以A*≠０，r(A*)>=1

又|A|E=0=AA*

所以：r(A)+r(A*)<=n

所以：r(A*)=1

(3)当 r(A)<=n-2 时，A的n-1阶子式全部为０，所以A*=0

所以：r(A*)=0

ＰＳ：上面的结论可以互推

也就是说：逆命题成立．

三.特征值特征向量

(1)对于同一n阶矩阵A,不同特征值的特征向量线性无关．．

(2)当出现特征值为重根时，对应于重根特征值的特征向量，假设为Ｘ１，Ｘ２

线性组合：k1x1+k2x2(k1,k2不全为０)仍然是A的特征向量

(3)不同特征值的特征向量之和一定不是A的特征向量（可以用反证法）

(4)对于某一个特征值的特征向量有无数个．只是我们在构造矩阵Ｐ时，只是用一

个（通常是基础解系）

几何空间性质

补充向量间关系的几何意义

1。若向量a1,a2线性相关，则必有a1//a2

2。若向量a1,a2线性无关，则他们相交或异面

3。若向量a1,a2,a3线性相关则a1//a2//a3或他们共面

4。若向量a1,a2,a3线性无关，则a1,a2,a3不共面

ps:这个方面我数三的考纲不要求..所以只是加上baoyu.song兄弟的话...

代数余子式

(1)代数余子式是有符号的..用逆序数来确定代数余子式的+-号

(2)用代数余子式来求矩阵的伴随矩阵时,记得要把余子式的行变列,列变行

(3)矩阵一行或者(列)的代数余子式与另一行(列)对应的元素乘积为0

(4)某一个代数余子式不受这个代数余子式的对应元素的影响....也就是跟他的元素无关了..

例如:a11,与A11...即使改变a11的值,但是它的代数余子式不变...

合同矩阵VS相似矩阵

首先说明:这些矩阵都是在实对称矩阵的基础上才有以下结论

(1)当A~B 时,矩阵A,B有相同的特征值,根据正交变换可以矩阵A,B有相同的二次型

所以有相同的正负惯性系数....所以.两矩阵合同

结论:两实对称矩阵相似,可以推出两矩阵合同

(2)由实对称矩阵必可以对角化得到:存在正交矩阵P,使得P(T)AP=∧

根据合同矩阵的定义得:任一个实对称矩阵必合同于一个对角矩阵