Question

概率论问题，求大神证明，我真是一窍不通啊

打钩处的证明没有写出过程，想知道是为什么，求大神帮忙

Answer 1

只需证明II, 若随机变量X的分布函数F(x)连续, 则F(X)服从均匀分布.

由F(x)是分布函数, lim{x → -∞} F(x) = 0, lim{x → +∞} F(x) = 1.
F(x)连续, 由介值定理, 对任意b ∈ (0,1), 存在a使F(a) = b.
另由b < (b+1)/2 < 1, 可取c使F(c) = (1+b)/2 > b.
而F(x)单调递增, 可知c是集合{x | F(x) ≤ b}的一个上界.

有上界则有上确界, 可设u = sup{x | F(x) ≤ b}.
由F(a) = b, 有a ≤ u, b = F(a) ≤ F(u).
又由F(x)连续, 同时u ∈ {x | F(x) ≤ b}或可被{x | F(x) ≤ b}中点列逼近, 有F(u) ≤ b, 故F(u) = b.
而F(x)单调, 有{x | F(x) ≤ b} = {x | x ≤ u}.
因此P(Y ≤ b) = P(F(X) ≤ b) = P(X ≤ u) = F(u) = b.

对b ∈ (0,1), Y的分布函数P(Y ≤ b) = b.
又易见P(Y ≤ 0) = P(F(X) = 0) = 0, P(Y ≤ 1) = P(F(X) ≤ 1) = 1.
因此Y = F(X)服从[0,1]均匀分布.

Answer 2

正好也考研，你把完整的题目，发上去

追问

就是打勾出的证明，和片前面没有关系的