Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．速度在线等！！

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S△PDE=
1
9
S四边形ABMC．

Answer 1

(1)设抛物线的解析式为y=a（x+1）*（x-3），代入（0，3），解得a=-1，
所以解析式为y=-x2+2x+3，
则点M的坐标为（1，4）；
(2)A点关于对称轴的对称点即为B点，连接BC，
BC与对称轴交点即为所求P点，BC长即为P到A、C点的最小距离和。
设对称轴与X轴交点为F，BF=2,
又因为角OBC=45°，
所以FP=2，即P（1,2）
(3)S四边形ABMN=S△AOC+S梯形OCMF+S△BFM=9
所以 题目所求的S△PDE即为1
DE∥PC，所以角OED=角OBC=45°
所以△ODE为等腰直角三角形，即DE=OD*根号2=（3-m）*根号2
又因为△PDE的高为DE、BC两平行线间的距离，
过D点作BC的垂线DG，角DCG=45°，所以DG=m/根号2
所以S△PDE=DE*DG*1/2=3/2*m-1/2*m^2=1
解得m=1或2

Answer 2

（1） 将3个点带入方程就可以得出来。带入c点求出c=3.带入AB两点得到方程a-b+3=0；9a+3b+3=0.解得a=-1，b=2.解析式为y=-x2+2b+3。顶点M带入公式得M(1，6)
（2）对称轴为x=1这条直线上，因此可以假设点P左标为（1，x）。用两点之间求距离的公式。求周长最小也就是PA+PC最小。那么PA+PC的距离用函数来表示为y=根号（4+x2）+根号（（3-x）2+x2）。最后就是求解这个方程的最小值了。输入不方便 自己想。
（3）求解出来了P点。列出直线方程DE就可以求解了。

Answer 3

解：(1)由题意，可得
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
∴a=-1，b=2，c=3
∴y=-x²+2x+3
=-(x²-2x)+3
=-(x²-2x+1-1)+3
=-(x-1)²+4
∴顶点M的坐标为(1，4)
(2)当直线BC与对称轴的交点，与点P重合时，△PAC的周长最小
直线BC的方程为
(y-0)/(x-3)=(3-0)/(0-3)
整理，有
y=-x+3
①
∵点P在对称轴上
∴点P的横坐标为1
把点P的横坐标代入①，得点P的纵坐标为2
∴点P的坐标为(1，2)

Answer 4

解：(1)由题意，可得
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
∴a=-1，b=2，c=3
∴y=-x²+2x+3
=-(x²-2x)+3
=-(x²-2x+1-1)+3
=-(x-1)²+4
∴顶点M的坐标为(1，4)
(2)当直线BC与对称轴的交点，与点P重合时，△PAC的周长最小
直线BC的方程为
(y-0)/(x-3)=(3-0)/(0-3)
整理，有
y=-x+3 ①
∵点P在对称轴上
∴点P的横坐标为1
把点P的横坐标代入①，得点P的纵坐标为2
∴点P的坐标为(1，2)

Answer 5

（1）设二次函数解析式为y=a（x-1）（x-3），
将c（0，3）坐标代入得：3=3a，即a=1，
则二次函数解析式为y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3；
（2）把d（4，m）代入解析式得：16-16+3=m，即m=3，
则s△abd=
1
2
×（3-1）×3=3；
（3）∵二次函数的对称轴为直线x=2，
∴a与b都在对称轴左边，
∵-1＜x1＜0，1＜x2＜2，
∴x1＜x2，
∴y1＞y2；
（4）∵二次函数解析式为y=（x-2）2-1，
∴当x=2时，二次函数的最小值为-1，
又∵0≤x≤5，
∴x=0时，函数值为3；x=5时，函数值为8，
则此时函数值y的取值范围是-1≤y≤8．
故答案为：（3）＞；（4）-1≤y≤8