Question

已知如图,PA是○O的切线,切点为A,PC与○O相交,交点为B,C

求证∠PAB=∠ACB 若AP=6,PB=3，求PC的长

Answer 1

证明：1）连接OA,OB,OC. ∵OA=OB=OC (圆半径相等)
得∠OAC=∠OCA ∠OBC=∠OCB
延长CO交AB于E. 则 ∠AOE=∠OAC+∠OCA =2∠OCA
∠BOE= ∠OBC+∠OCB=2∠OCB
∠AOB=∠AOE+∠BOE=2∠OCA+2∠OCB=2∠ACB
过O点作AB的垂线，垂足为D,明显有△AOD与△BOD全等。
∠AOD=1/2∠AOB=∠ACB=90°-∠OAD=∠PAB
故：∠PAB=∠ACB
2）已知：AP=6,PB=3
根据切割线定理：AP^2=PB*PC
PC=AP*AP/PB=6*6/3=12

Answer 2

（1）连接OA，
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA
∵BC为圆O的直径
∴∠BAC=90°
即∠BAO+∠OAC=90°
∴∠BAO+∠OCA=90°
∵PA为圆O的切线
∴OA⊥PA
∴∠PAB+∠BAO=90°
∴∠PAB=∠OCA
（2）设OA=X，则OB=OA=X
再RT△PAO中
OP²=OA²+PA²
（OB+PB）²=OA²+PA²
（3+X）²=X²+6²
9+6X+X²=X²+36
6X=30
X=5
∴OB=5
∴OB=OC=5
∴PC=PB+OB+OC=3+5+5=13

追问

额，BC不是直径····

追答

你图画错了，不然你说怎么解？

Answer 3

【首先对楼下这种[不然你怎么做]式的答案表示万分鄙视.】
(1)
连接OA,OB
【∵PA切于圆O,C在圆O上】
【∴∠PAB＝∠AOB的一半】（弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半.）
【∠ACB＝∠AOB的一半】（圆周角等于同弧所对的圆周角的一半)
【∴∠PAB＝∠ACB】
(2)
【∵∠PAB＋∠CAB＝90°】【∠ACB＋∠APC＝90°】（ap切圆O于A,∠PAC为90°)
【又∵∠PAB＝∠ACB】（第一问中已证)
【∴∠APB＝∠CAB】
【∴△APB∽△CAB】
【因此 BC：AB＝AB：PB】(相似三角形对应边成比例)
将题目条件代入后可得
【BC:6＝6：3】
【∴BC＝12】
【∴PC＝PB+BC＝3+12＝15】