Question

多元函数求导题目求解

f(x,y,z)=xy+zy+xz, x=u^2 - v^2, y=1/v, z=uv. 计算如下图中三个导数,括弧请自动无视-.-

Answer 1

f(x,y,z)=xy+zy+xz, x=u² - v², y=1/v, z=uv. 计算∂²f/∂u²，∂²f/∂u∂v，∂²f/∂v²；
解：∂f/∂u=(∂f/∂x)(∂x/∂u)+(∂f/∂z)(∂z/∂u)=2(y+z)u+(y+x)v
=(2u+v)y+2zu+xv=(2u/v)+1+2u²v+u²v-v³=(2u/v)+1+3u²v-v³；
∂²f/∂u²=(2/v)+6uv；
∂²f/∂u∂v=-(2u/v²)+3u²-3v²；
∂f/∂v=(∂f/∂x)(∂x/∂v)+(∂f/∂y)(∂y/∂v)+(∂f/∂z)(∂z/∂v)=-2v(y+z)-(x+z)/v²+u(y+x)
=-2v[(1/v)+uv]-(u²-v²+uv)/v²+u[(1/v)+u²-v²]=-2-2uv²-(u²-v²+uv)/v²+(u/v)+u³-uv²
=-2-3uv²-(u²/v²)+1-(u/v)+(u/v)+u³-uv²=-1-4uv²-(u²/v²)+u³
∂²f/∂²v=-8uv+(2u²/v³)；

Answer 2

将x,y,z 代入f： f(u,v)=u^2*v^(-1)-v+u+u^3*v-u*v^3
1) f对u求导＝2u*v*(-1)+1+3u^2*v-v^3
2)在1）的基础上对v求导＝－2u*v^(-2)+3u^2-3v^2
3)另p=v^2, f(u,p)=u^2*p^(-1/2)-p^(1/2)+u+u^3*p^(1/2)-u*p^(3/2)
f对p求导＝-1/2u^2*p^(-3/2)-(1/2)p^(-1/2)+(1/2)u^3*p^(-1/2)-(3/2)u*p^(1/2)

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