Question

设函数f(x)的导函数为f，(x),f(0)=1对任意x∈R,都有f，(x)>f(x)成立,则不等式f(x)>e^x的解集为

答案（0，+∞）跪求过程谢谢

Answer 1

设g(x)=f(x)-e^x
则g(0)=0，g'(x)=f'(x)-e^x>f(x)-e^x=g(x)
特别的g'(0)>0
∵g(x)连续
∴存在足够小的a>0，使得在原点的周围里邻域(-a,a)内，g(x)>0，若x>0，g(x)<0，若x<0
下面我们证明g(x)=0仅当x=0时成立
若存在一个最小的正数t使得g(t)=0，由连续性可知g(x)>0，x∈(0,t) 且 g'(t)<0
这和g(t)<g'(t)矛盾
t为负数时同理可证

追问

谢谢，不过
答案是（0，+∞）但你写的跟答案不同

追答

我是这个意思啊，因为g(x)只有一个零点x=0，且g'(x)>0，所以g(x)>0的解集是（0，+∞）