Question

高中数学数列里常用的裂项方法

高中数学 数列里常用的裂项方法有哪些？列举一下，最后能给出一个课件。（我不小心给忘了）

Answer 1

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Answer 2

教学案例：裂项求和法厦门市集美区灌口中学 吴清平背景：新课程以其庞大的容量让奋战在一线的老师们吃尽苦头，每位老师都有课时拮据的感叹，如《数列》一章安排12课时，仅用于讲授数列的概念、等差、等比数列的相关内容便嫌不够，而人教A版的教材中，在习题设置了数列求和的多种题型，当然也应补充该部分知识了。为了赶进度，争取完成教学任务，更为了充实知识内容，对例习返枝段题进行有益的补充，数列一章内容的传授总显得相当匆忙，学生参与探究获得知识的机会偏少，课堂更多成了教师的表演与独白，虽完成了教学任务，我却郁郁寡欢，这种课，一点味道都没有，每当我反省学生究竟学会了那些东西时，总会汗颜：课程是按时完成了，但其有效性有多少？于是寻求突破。感觉中课程容量不应太大，更不要追求教师讲了多少，而更应关注学生掌握了什么，一节课专攻一、两个知识点，留出更多的时间让学生模仿训练，让学生更主动积极地参与课堂教学，在探究中体验知识的联系，那怕一节课只学会一种题型的解决策略，也比满堂灌，最终什么都没学到强多了。有幸参加两位教师同上一节课：《等比数列的前n项和（第2课时）》，同样是对课本例、习题的拓展，教师A抓住“乘比错位相减法”展开，从等差、等比的求和公式的推导引出差比数列，引导学生探究获得该方法，从而体验知识的产生和形成过程，课堂上围绕差比数列的求和，例、习题并不多，但由于聚集于某一点，把挺难的方法细化，学生亦明确了其中的关键。教师B则由数学思想方法出发，在推导等比数列前项和性质的同时，升华、提炼出多种思想方法，如错位相减法、分类讨论思想、方法的思想、函数思想、整体思想、待定系数法、转化与化归思想，本教学设计可谓独具匠心，致力于提高学生的解题能力，但对高一学生而言，不仅容量太大，而且拓展得太过了，一节课下来，听课老师都颇感吃力，更不用说学生了，这种课于高三总复习时使用或者更适合。课后的点评与反馈使我有所彻悟：教学是否有效，并不是指教师有没有教被动局面内容或教得认真与否，而是指学生有没有学到什么或学得好不好。如果学生学得不好，即使教师教得很精彩，很辛苦，很认真，也是无效或低效的教学。在《数列求和》的补充内容中，我最初设计了两课时，第1课时讲分组求和法、倒序相加法、裂项相消法，并引申出求通项公式的迭加（乘）法，第2课时重点演练乘比错位相减法，并补充求通项公式的待定系数法（形如 的数列。）当我重新审视教学设计时，自己都吓了一跳：两课时的例题及练习共有20道之多，按此设计，即事能讲完也应相当赶，能有多少时间留给学生思考呢？教学的有效性更是无从谈起。于是决定改变教学内容，裂项法是重要的求和方法，不仅渗透了化归的重要思想，而且也是高考的热点问题，从最简单的题目入手，循序渐进，或者会有不可估计的收获吧…教学片断：问题（课本第53页，习题2.3 [B组]第4题）数列 的前n项和，研究一下，能否找到求 的一个公式，你能对这个问题作一些推广吗？生1（有点高兴）：这个我会，把每项拆开：。师（追问）：为什么会想到把每项拆开？生1：初中有遇到，老师说应该这样做。学生会求解让我搭李很高兴，但他们是否真的懂得这种解题方法，还是凭记忆来完成？我没有把预设的解题方案讲请楚，而是抛出了另一个问题：变式：求和： 。生2（模仿）：。我没有急着去评判其真伪，而是让学生去讨论。很快有学生指出其错误：生3：n = 1时， ，但 。怎么办呢？仍由学生思考、讨论。生4（猜想）： 。理由： ，所以 ； ，所以 ；…推广到一般： ，所以 。问题得到了圆满解决： 太棒了！这是学生由衷的感叹，因为这种方法是他们在不断的探索中获得的，老师只是适时地作了引导，于是课堂气氛也热烈起来。但这只是初步应用，学生的认识可能是模糊的，因而我采取了乘胜追击的方法：练习1：求和： 。根据类比，练习1的解决已水到渠成：生4： 。有什么规律？推广到一般情况又如何？这是学生的心声，他们已处于欲罢不能的学习状态了。我及时地给出了练习2：已知数列 为等差数列， ，公差 ，求 。不用我再费唇漏誉舌，学生已经而易举地完成了：生5： ，所以 。至此本节课达到了高潮，教学任务也在学生由浅入深的探究中实现了，对裂项相消法，学生已不再陌生。见学生解题兴趣空前高涨，而且离下课时间还算充裕，萦绕在我脑中的题目便再也阻止不了：练习3：求和： 。这有何难？！生6： 。“老师，你好激动哦！”我能不激动吗？！以上的解题过程都是学生自己发现的，我只稍微作了点拔，却已充分融入与学生探索的过程中。来个有难度的！见学生意犹未尽，我便不再藏拙：练习4：求和： 。确实有难度。怎么拆项呢？学生拆了半天，找不到好的头绪。“拆项的目的是什么？”我适时进行提示。拆项的目的是相消：每项拆成两项，第一项与前一式的第二项互为相反数，其和等于0！那么，练习4中，相邻两项相同的项是什么？——这是拆项的关键。生7：因为 ，……教学反思：1、本节课是这学期来最生动、成功的一节课，学生在课堂上不自禁地说：“老师，你好激动哦！”是的，我的激动与无限的灵感正是在学生思维火花的碰撞中牵引出来的，当学生能主动参与课堂活动，积极进行思维，并快乐地产生一个又一个好的念头时，我能不忘情地投入吗？！2、对数学课，传统的认识是“数学即解题”，谁解题又快又准，考试分数也会较高，顺理成章的成了高材生。于是课堂成了“给出公式——例题示范——强化训练”的模式，教学目标便是把学生培养成为“解题机器”，学生的学习兴趣和创造性思维便在慢慢地被扼杀了。然而，教师传授什么，学生就接受什么的传统认识并不可靠，课堂教学中应更多关注学生得到了什么；应改变教师一手包办、灌输式的讲授方式；应注意创设问题情景，提出富有挑战性的问题引导学生思考、讨论；应呈现知识产生、发展的过程，让学生感受数学结论的来龙去脉，甚至可以让学生经历数学家的探究过程，亲自进行合理猜想、合作探究并获得数学结论。本设计抓住了学生思维的软胁，从简单的问题入手，先让学生体验解决问题的过程与方法，在学生思维的“最近发展区”设计有针对性的问题链，所有的结论（解题方法）都是学生通过探究而得到的，教师只是作了适时的引导，因此，课堂教学是有效的、学生乐意接受并在不断的追问与修正中掌握解题方法，体会数学的本质。3、新课程为课堂教学注入了生机活力，从教学目标、教学内容、教学方式及教学评价，都有着丰富的新的理念。当我们重新审视课程标准的性质与内容时，我们不自禁的要追问：课堂教学应教给学生什么呢？是传授知识，还是以“知识”为载体，让学生获得更多的东西？回答是显然的，应是通过“知识的学习”而获得其它。可以分数评价教师的制度使我们带上了“镣铐”，想“跳舞”也是心惊胆战的：如果学生的成绩提不上来，则一切的尝试与努力都是白费劲。本教学设计沿着数学发展的脉落，把“多而散”的内容变成“少而精”，让学生经历探究与发现结论并进行验证的过程，课堂并没有大量的例题、练习，学生在活动中却学会了最本质的东西。本设计更从庞杂的知识中引导学生去寻找关系，挖掘书本背后的数学思想，挖掘出基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。

Answer 3

裂项法　　裂项法求和
　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然谈搏后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5） n·n!=(n+1)!-n!
　　[例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
　　解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
　　则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
　　＝ 1-1/(n+1)
　　＝ n/(n+1)
　　 [例2] 【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
　　解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
　　则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
　　＝ (n-1)n(n+1)/3
　　小结：此类变形的特点是将原数列每一项含哪祥拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
　　注意： 余下的项具有如下的特点
　　1余下的项前后的位置前后是对称的。
　　2余下的项前后的正负性是相反的。
　　易错点：注缓如意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
　　附：数列求和的常用方法：
　　公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
　　1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
　　2、错位相减法求和：如an=n·2^n
　　3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
　　4、倒序相加法求和：如an= n
　　5、求数列的最大、最小项的方法：
　　① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
　　② (an>0) 如an=
　　③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
　　6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
　　(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
　　(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
　　在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。